site2wouf.fr : La tournée du jour

J'ai un plan. Il manque les calculs.

Wouf (Sur mon T-shirt)

Partager :

Facebook X (Twitter) LinkedIn Threads Bluesky Email WhatsApp

🔑 Code de cette fiche :

imprimer LaTeX
ℹ️

Besoin d'aide sur les graphes et le critère d'Euler ?

Consultez la page du catalogue pour retrouver le critère d'Euler et le raisonnement sur la parité des degrés.

📚 Voir les ressources pédagogiques

Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
1234567891011121314151617181920212223242526abcABCDEFGHJKLMPQN
Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① chemin Creux⑭ rue de la PosteⒶ Carrefour des Quatre-Cheminsa la poste
② allée des Tilleuls⑮ rue du StadeⒷ Carrefour du Lavoirb la salle des fêtes
③ chemin du Lavoir⑯ rue du PontⒸ Place du Vieux-Puitsc le stade
④ rue Verte⑰ rue des LilasⒹ Carrefour de la Mairie
⑤ rue Neuve⑱ boulevard du ParcⒺ Place du Marché
⑥ rue du Moulin⑲ allée des PeupliersⒻ Rond-point de la Gare
⑦ rue des Jardins⑳ rue de l'ÉgliseⒼ Rond-point des Vaches
⑧ venelle du Chat㉑ avenue de la GareⒽ Carrefour du Moulin
⑨ rue de la Mairie㉒ rue PasteurⒿ Carrefour Saint-Roch
⑩ sentier des Prés㉓ rue BasseⓀ Rond-point du Pont
⑪ quai aux Fleurs㉔ rue des ÉcolesⓁ Place aux Herbes
⑫ rue du Puits㉕ rue HauteⓂ Coin du Lavoir
⑬ chemin des Vignes㉖ passage du MarchéⓅ Carrefour de l'Hôpital
Ⓠ Carrefour des Tilleuls
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
Cahier d'exercices iParcours Maths 6e (Génération 5)

Un cahier d'exercices de 128 pages ...

Le cahier : 5,40 €

Plus de Produits

Publicité

Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

1234567891011121314151617181920212223242526abcABCDEFGHJKLMPQN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGHJKLMPQ
Nombre de rues35242444482244
Paritéimpairimpairpairpairpairpairpairpairpairpairpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 52 = 2 × 26, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : A, B — il y en a 2.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en B, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le départ — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'une seule arrivée : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.
3.
Oui. Deux carrefours sont impairs, A et B, et la poste est justement sur l'un des deux (B). Il part donc de la poste et termine en A, l'autre carrefour impair.
Voici une tournée possible :
  1. Il part de Carrefour du Lavoir (B), prend le chemin Creux ① vers le nord-est et atteint Carrefour des Quatre-Chemins (A).
  2. Il tourne à droite dans l'allée des Tilleuls ②, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour de la Mairie (D).
  3. Il tourne à gauche dans la venelle du Chat ⑧, vers l'est, jusqu'à Place du Vieux-Puits (C).
  4. Il tourne à droite dans la rue de la Mairie ⑨, vers le sud, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (J).
  5. Il tourne à droite dans la rue des Lilas ⑰, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour du Moulin (H).
  6. Il tourne à droite dans le sentier des Prés ⑩, vers le nord, jusqu'à Carrefour de la Mairie (D).
  7. Il tourne à gauche dans le quai aux Fleurs ⑪, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point du Pont (K).
  8. Il tourne à droite dans la rue des Jardins ⑦, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour du Lavoir (B).
  9. Il tourne à gauche dans la rue Verte ④, vers l'ouest, jusqu'à Place du Marché (E).
  10. Il tourne à gauche dans la rue du Puits ⑫, vers le sud, jusqu'à Rond-point des Vaches (G).
  11. Il tourne à gauche dans la rue du Moulin ⑥, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour du Lavoir (B).
  12. Il prend dans la rue Neuve ⑤, vers le sud, jusqu'à Rond-point de la Gare (F).
  13. Il tourne à droite dans le chemin des Vignes ⑬, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point des Vaches (G).
  14. Il tourne à gauche dans la rue du Pont ⑯, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (Q).
  15. Il prend dans la rue du Stade ⑮, vers le nord, jusqu'à Rond-point de la Gare (F).
  16. Il tourne à droite dans la rue de la Poste ⑭, vers l'est, jusqu'à Rond-point du Pont (K).
  17. Il continue tout droit dans le boulevard du Parc ⑱, vers l'est, jusqu'à Carrefour du Moulin (H).
  18. Il tourne à droite dans l'allée des Peupliers ⑲, vers le sud, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (P).
  19. Il tourne à gauche dans l'avenue de la Gare ㉑, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (J).
  20. Il tourne à droite dans la rue de l'Église ⑳, vers le sud, jusqu'à Place aux Herbes (L).
  21. Il tourne à droite dans la rue Haute ㉕, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (P).
  22. Il tourne à droite dans la rue Basse ㉓, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point du Pont (K).
  23. Il prend dans la rue Pasteur ㉒, vers le sud, jusqu'à Coin du Lavoir (M).
  24. Il tourne à droite dans le passage du Marché ㉖, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (Q).
  25. Il tourne à droite dans la rue des Écoles ㉔, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point du Pont (K).
  26. Il continue tout droit dans le chemin du Lavoir ③, vers le nord, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (A).
4.
C'était déjà possible. Notons seulement que la poste devait être en A ou en B : ailleurs, la tournée n'aurait pas pu commencer.

Des centaines de PDF disponibles gratuitement !

Pour accéder à nos ressources gratuites, il vous suffit de sélectionner l'activité que vous désirez dans le formulaire au dessus de l'activité du jour. Ensuite, utilisez l'icône appropriée sous les liens de partage pour télécharger vos PDF.

N'oubliez pas, partager fait vivre les sites ! 😊 Merci de votre soutien !

🎓 Pour les enseignants — l'arrière-plan du problème

Ce problème est un parcours eulérien : on emprunte chaque arête une fois. Ces articles du blog vont au-delà du programme du collège : ils sont là pour préparer la séance, pas pour être donnés aux élèves.

🔗 Liens utiles

// Remarques, codes, note de version etc...

Le générateur de cette activité (html, svg, tex et pdf) est écrit en Python 3 ; les PDF sont composés avec LaTeX et les figures sont vectorielles. Mon travail est sous licence Creative commons.

N'hésitez pas à me contacter si vous detectez la moindre imperfection, ou si vous imaginez une amélioration potentielle !

Open source et gratuité n'empêchent ni les dons ni les remerciements 😉
Un euro ou deux pour m'aider à payer le serveur ? ☕ Payez-moi un café via PayPal