site2wouf.fr : La tournée du jour

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Fiche n°
dimanche 1 novembre 2026

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
123456789101112131415161718192021abcS0S1S2S3S4S5S6S7S8S9S10S11S12N
Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① rue du Stade⑫ boulevard du ParcS0 Place Sainte-Croixa la poste
② rue du Moulin⑬ passage du MarchéS1 Placette des Ormesb l'école
③ rue des Lilas⑭ chemin du LavoirS2 Place des Tanneursc le marché couvert
④ rue de la Mairie⑮ rue PasteurS3 Rond-point de la Poste
⑤ rue de l'Église⑯ chemin CreuxS4 Place de l'Église
⑥ rue Basse⑰ rue du PontS5 Carrefour des Tilleuls
⑦ rue de la Poste⑱ sentier des PrésS6 Carrefour du Lavoir
⑧ chemin de Ronde⑲ venelle du ChatS7 Carrefour Saint-Roch
⑨ rue Neuve⑳ avenue de la GareS8 Carrefour des Quatre-Chemins
⑩ rue du Puits21 allée des PeupliersS9 Carrefour de l'Hôpital
⑪ rue des JardinsS10 Rond-point du Stade
S11 Coin du Lavoir
S12 Place du Marché
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?

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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

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1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourS0S1S2S3S4S5S6S7S8S9S10S11S12
Nombre de rues2224264444422
Paritépairpairpairpairpairpairpairpairpairpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 42 = 2 × 21, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Aucun carrefour n'a un nombre impair de rues : ils sont tous pairs.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en S7, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le départ — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'une seule arrivée : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.
3.
Oui. Aucun carrefour n'est impair : chacun peut être traversé de part en part. Le facteur revient même à la poste sans l'avoir cherché.
Voici une tournée possible — ce n'est pas la seule :
  1. Il part de Carrefour Saint-Roch (S7), prend la rue des Jardins ⑪ vers le nord et atteint Place de l'Église (S4).
  2. Il tourne à droite dans la rue du Puits ⑩, vers l'est, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (S5).
  3. Il tourne à gauche dans la rue du Stade ①, vers le nord-est, jusqu'à Place Sainte-Croix (S0).
  4. Il tourne à droite dans la rue du Moulin ②, vers le sud, jusqu'à Carrefour du Lavoir (S6).
  5. Il tourne à droite dans le passage du Marché ⑬, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (S5).
  6. Il continue tout droit dans la rue de la Mairie ④, vers le nord-ouest, jusqu'à Placette des Ormes (S1).
  7. Il tourne à gauche dans la rue des Lilas ③, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point de la Poste (S3).
  8. Il tourne à droite dans la rue Basse ⑥, vers l'ouest, jusqu'à Place des Tanneurs (S2).
  9. Il tourne à gauche dans la rue de la Poste ⑦, vers le sud, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (S8).
  10. Il tourne à gauche dans le chemin de Ronde ⑧, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point de la Poste (S3).
  11. Il prend dans la rue Neuve ⑨, vers le sud, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (S9).
  12. Il tourne à droite dans l'avenue de la Gare ⑳, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (S8).
  13. Il tourne à gauche dans la venelle du Chat ⑲, vers le sud-est, jusqu'à Coin du Lavoir (S11).
  14. Il tourne à gauche dans l'allée des Peupliers 21, vers le nord, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (S9).
  15. Il tourne à droite dans le sentier des Prés ⑱, vers l'est, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (S7).
  16. Il continue tout droit dans le chemin du Lavoir ⑭, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (S5).
  17. Il tourne à droite dans le boulevard du Parc ⑫, vers le sud, jusqu'à Rond-point du Stade (S10).
  18. Il tourne à gauche dans la rue de l'Église ⑤, vers l'est, jusqu'à Place du Marché (S12).
  19. Il tourne à gauche dans le chemin Creux ⑯, vers le nord, jusqu'à Carrefour du Lavoir (S6).
  20. Il tourne à gauche dans la rue Pasteur ⑮, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point du Stade (S10).
  21. Il tourne à droite dans la rue du Pont ⑰, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (S7).
4.
La question ne se pose pas : la tournée est possible au départ de la poste, et elle le resterait où qu'on installe celle-ci — aucun carrefour n'est impair.

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