site2wouf.fr : La tournée du jour

La richesse consiste bien plus dans l'usage qu'on en fait que dans la possession.

Aristote

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Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
12345678910111213141516171819202122abcABCDEFGHJKLMPN
Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① rue de la Poste⑫ rue NeuveⒶ Carrefour de l'Hôpitala la poste
② rue des Jardins⑬ rue des ÉcolesⒷ Place aux Herbesb la salle des fêtes
③ avenue de la Gare⑭ rue BasseⒸ Carrefour Saint-Rochc le marché couvert
④ rue du Stade⑮ chemin des VignesⒹ Place du Vieux-Puits
⑤ allée des Peupliers⑯ rue PasteurⒺ Carrefour des Tilleuls
⑥ rue du Four⑰ rue de l'ÉgliseⒻ Rond-point de la Gare
⑦ rue Haute⑱ venelle du ChatⒼ Placette des Ormes
⑧ quai aux Fleurs⑲ rue des LilasⒽ Rond-point de la Poste
⑨ impasse des Roses⑳ passage du MarchéⒿ Place des Tanneurs
⑩ chemin de Ronde㉑ allée des TilleulsⓀ Rond-point du Stade
⑪ chemin du Lavoir㉒ rue du PontⓁ Carrefour du Moulin
Ⓜ Place de l'Église
Ⓟ Coin du Lavoir
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

12345678910111213141516171819202122abcABCDEFGHJKLMPN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGHJKLMP
Nombre de rues4241662426322
Paritépairpairpairimpairpairpairpairpairpairpairimpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 44 = 2 × 22, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : D, L — il y en a 2.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en F, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le départ — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'une seule arrivée : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.
3.
Non. Deux carrefours sont impairs, D et L : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.
Or la poste est en F, où aboutit un nombre pair de rues. Ce carrefour ne peut être que traversé, jamais servir de départ.
4.
Oui, une tournée existe — mais elle va de D à L. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il ne reviendrait pas à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.
Ce parcours, en partant de D :
  1. Il part de Place du Vieux-Puits (D), prend l'impasse des Roses ⑨ vers l'est et atteint Carrefour des Tilleuls (E).
  2. Il tourne à gauche dans l'avenue de la Gare ③, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (A).
  3. Il tourne à droite dans la rue de la Poste ①, vers l'est, jusqu'à Place aux Herbes (B).
  4. Il tourne à droite dans l'allée des Peupliers ⑤, vers le sud, jusqu'à Rond-point de la Gare (F).
  5. Il prend dans la rue du Stade ④, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (A).
  6. Il prend dans la rue des Jardins ②, vers le sud, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (C).
  7. Il tourne à droite dans la rue du Four ⑥, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (E).
  8. Il tourne à gauche dans le chemin de Ronde ⑩, vers le sud-ouest, jusqu'à Place des Tanneurs (J).
  9. Il tourne à gauche dans la rue des Lilas ⑲, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour du Moulin (L).
  10. Il tourne à gauche dans la rue Neuve ⑫, vers le nord, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (E).
  11. Il prend dans le chemin du Lavoir ⑪, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point du Stade (K).
  12. Il tourne à gauche dans le quai aux Fleurs ⑧, vers le nord, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (C).
  13. Il tourne à droite dans la rue Haute ⑦, vers l'est, jusqu'à Rond-point de la Gare (F).
  14. Il tourne à droite dans la rue des Écoles ⑬, vers le sud-est, jusqu'à Placette des Ormes (G).
  15. Il tourne à droite dans la rue Pasteur ⑯, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point de la Poste (H).
  16. Il tourne à droite dans la rue Basse ⑭, vers le nord, jusqu'à Rond-point de la Gare (F).
  17. Il tourne à gauche dans le chemin des Vignes ⑮, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point du Stade (K).
  18. Il prend dans la rue de l'Église ⑰, vers l'est, jusqu'à Rond-point de la Poste (H).
  19. Il tourne à droite dans la venelle du Chat ⑱, vers le sud, jusqu'à Coin du Lavoir (P).
  20. Il tourne à droite dans l'allée des Tilleuls ㉑, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point du Stade (K).
  21. Il prend dans le passage du Marché ⑳, vers le sud, jusqu'à Place de l'Église (M).
  22. Il tourne à droite dans la rue du Pont ㉒, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour du Moulin (L).
À remarquer. Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.

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