site2wouf.fr : La tournée du jour

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Fiche n°
lundi 2 novembre 2026

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
12345678910111213141516171819202122abcS0S1S2S3S4S5S6S7S8S9S10S11S12N
Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① rue de la Poste⑫ rue NeuveS0 Carrefour de l'Hôpitala la poste
② rue des Jardins⑬ rue des ÉcolesS1 Place aux Herbesb la salle des fêtes
③ avenue de la Gare⑭ rue BasseS2 Carrefour Saint-Rochc le marché couvert
④ rue du Stade⑮ chemin des VignesS3 Place du Vieux-Puits
⑤ allée des Peupliers⑯ rue PasteurS4 Carrefour des Tilleuls
⑥ rue du Four⑰ rue de l'ÉgliseS5 Rond-point de la Gare
⑦ rue Haute⑱ venelle du ChatS6 Placette des Ormes
⑧ quai aux Fleurs⑲ rue des LilasS7 Rond-point de la Poste
⑨ chemin de Ronde⑳ passage du MarchéS8 Place des Tanneurs
⑩ impasse des Roses21 allée des TilleulsS9 Rond-point du Stade
⑪ chemin du Lavoir22 rue du PontS10 Carrefour du Moulin
S11 Place de l'Église
S12 Coin du Lavoir
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?

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La tournée du facteur — Correction

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1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourS0S1S2S3S4S5S6S7S8S9S10S11S12
Nombre de rues4241662426322
Paritépairpairpairimpairpairpairpairpairpairpairimpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 44 = 2 × 22, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : S3, S10 — il y en a 2.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en S5, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le départ — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'une seule arrivée : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.
3.
Non. Deux carrefours sont impairs, S3 et S10 : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.
Or la poste est en S5, où aboutit un nombre pair de rues. Ce carrefour ne peut être que traversé, jamais servir de départ.
4.
Oui, une tournée existe — mais elle va de S3 à S10. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il ne reviendrait pas à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.
Ce parcours, en partant de S3 :
  1. Il part de Place du Vieux-Puits (S3), prend l'impasse des Roses ⑩ vers l'est et atteint Carrefour des Tilleuls (S4).
  2. Il tourne à gauche dans l'avenue de la Gare ③, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (S0).
  3. Il tourne à droite dans la rue de la Poste ①, vers l'est, jusqu'à Place aux Herbes (S1).
  4. Il tourne à droite dans l'allée des Peupliers ⑤, vers le sud, jusqu'à Rond-point de la Gare (S5).
  5. Il prend dans la rue du Stade ④, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (S0).
  6. Il prend dans la rue des Jardins ②, vers le sud, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (S2).
  7. Il tourne à droite dans la rue Haute ⑦, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (S4).
  8. Il tourne à gauche dans le chemin du Lavoir ⑪, vers le sud, jusqu'à Carrefour du Moulin (S10).
  9. Il tourne à gauche dans la rue du Four ⑥, vers l'est, jusqu'à Place de l'Église (S11).
  10. Il tourne à gauche dans l'allée des Tilleuls 21, vers le nord, jusqu'à Rond-point du Stade (S9).
  11. Il continue tout droit dans le chemin de Ronde ⑨, vers le nord, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (S2).
  12. Il tourne à droite dans le quai aux Fleurs ⑧, vers l'est, jusqu'à Rond-point de la Gare (S5).
  13. Il continue tout droit dans la rue Basse ⑭, vers le sud-est, jusqu'à Placette des Ormes (S6).
  14. Il tourne à droite dans la rue de l'Église ⑰, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point de la Poste (S7).
  15. Il tourne à droite dans le chemin des Vignes ⑮, vers le nord, jusqu'à Rond-point de la Gare (S5).
  16. Il prend dans la rue Pasteur ⑯, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point du Stade (S9).
  17. Il prend dans la rue des Lilas ⑲, vers l'est, jusqu'à Rond-point de la Poste (S7).
  18. Il tourne à droite dans la venelle du Chat ⑱, vers le sud, jusqu'à Coin du Lavoir (S12).
  19. Il tourne à droite dans la rue du Pont 22, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point du Stade (S9).
  20. Il continue tout droit dans la rue des Écoles ⑬, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (S4).
  21. Il tourne à gauche dans la rue Neuve ⑫, vers le sud-ouest, jusqu'à Place des Tanneurs (S8).
  22. Il tourne à gauche dans le passage du Marché ⑳, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour du Moulin (S10).
À remarquer. Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.

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