site2wouf.fr : La tournée du jour

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Craig Barret

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Fiche n°
jeudi 3 décembre 2026

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
12345678910111213141516abcdS0S1S2S3S4S5S6S7S8S9S10S11N
Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① allée des Peupliers⑨ sentier des PrésS0 Carrefour Saint-Rocha la poste
② rue Neuve⑩ rue VerteS1 Place des Tanneursb la salle des fêtes
③ rue de la Mairie⑪ rue des JardinsS2 Place de la Fontainec la gendarmerie
④ rue Basse⑫ quai aux FleursS3 Place du Vieux-Puitsd le lavoir
⑤ allée des Tilleuls⑬ boulevard du ParcS4 Placette des Ormes
⑥ passage du Marché⑭ impasse VerteS5 Carrefour du Moulin
⑦ rue Pasteur⑮ rue du FourS6 Rond-point du Stade
⑧ chemin Creux⑯ rue du MoulinS7 Coin du Lavoir
S8 Carrefour des Tilleuls
S9 Place Sainte-Croix
S10 Place de l'Église
S11 Place du Marché
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?

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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

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1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourS0S1S2S3S4S5S6S7S8S9S10S11
Nombre de rues422224326212
Paritépairpairpairpairpairpairimpairpairpairpairimpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 32 = 2 × 16, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : S6, S10 — il y en a 2.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en S10, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le départ — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'une seule arrivée : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.
3.
Oui. Deux carrefours sont impairs, S6 et S10, et la poste est justement sur l'un des deux (S10). Il part donc de la poste et termine en S6, l'autre carrefour impair.
Voici une tournée possible :
  1. Il part de Place de l'Église (S10), prend l'impasse Verte ⑭ vers le nord-ouest et atteint Carrefour des Tilleuls (S8).
  2. Il tourne à droite dans la rue Basse ④, vers le nord, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (S0).
  3. Il tourne à droite dans l'allée des Peupliers ①, vers l'est, jusqu'à Place de la Fontaine (S2).
  4. Il tourne à droite dans la rue Pasteur ⑦, vers le sud, jusqu'à Placette des Ormes (S4).
  5. Il continue tout droit dans le chemin Creux ⑧, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (S8).
  6. Il tourne à droite dans la rue des Jardins ⑪, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour du Moulin (S5).
  7. Il tourne à droite dans la rue de la Mairie ③, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (S0).
  8. Il prend dans la rue Neuve ②, vers l'ouest, jusqu'à Place du Vieux-Puits (S3).
  9. Il continue tout droit dans l'allée des Tilleuls ⑤, vers l'ouest, jusqu'à Place des Tanneurs (S1).
  10. Il tourne à gauche dans le passage du Marché ⑥, vers le sud, jusqu'à Rond-point du Stade (S6).
  11. Il tourne à gauche dans le sentier des Prés ⑨, vers l'est, jusqu'à Carrefour du Moulin (S5).
  12. Il tourne à droite dans la rue Verte ⑩, vers le sud, jusqu'à Coin du Lavoir (S7).
  13. Il tourne à gauche dans le boulevard du Parc ⑬, vers l'est, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (S8).
  14. Il tourne à droite dans la rue du Four ⑮, vers le sud-ouest, jusqu'à Place du Marché (S11).
  15. Il tourne à droite dans la rue du Moulin ⑯, vers le nord-ouest, jusqu'à Place Sainte-Croix (S9).
  16. Il tourne à droite dans le quai aux Fleurs ⑫, vers le nord, jusqu'à Rond-point du Stade (S6).
4.
C'était déjà possible. Notons seulement que la poste devait être en S6 ou en S10 : ailleurs, la tournée n'aurait pas pu commencer.
À remarquer. Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.

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