site2wouf.fr : La tournée du jour

Le football c'est comme les échecs, mais sans les dés.

L.Podolski ( Nouveau design ! )

Partager :

Facebook X (Twitter) LinkedIn Email WhatsApp

🔑 Code de cette fiche :

imprimer LaTeX
ℹ️

Besoin d'aide sur les graphes et le critère d'Euler ?

Consultez la page du catalogue pour retrouver le critère d'Euler et le raisonnement sur la parité des degrés.

📚 Voir les ressources pédagogiques

Fiche n°
lundi 7 décembre 2026

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
1234567891011121314abcS0S1S2S3S4S5S6S7S8S9S10N
Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① impasse des Roses⑧ chemin de RondeS0 Fontaine Notre-Damea la poste
② rue de la Poste⑨ rue de la MairieS1 Rond-point de la Gareb la pharmacie
③ rue des Jardins⑩ rue du PuitsS2 Placette des Ormesc l'école
④ rue Haute⑪ rue PasteurS3 Rond-point de la Poste
⑤ sentier des Prés⑫ rue du PontS4 Rond-point des Vaches
⑥ avenue de la Gare⑬ allée des PeupliersS5 Place du Vieux-Puits
⑦ rue Neuve⑭ rue du FourS6 Carrefour du Lavoir
S7 Place du Marché
S8 Place aux Herbes
S9 Place de la Fontaine
S10 Place de l'Église
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?

Un cahier d'exercices de 128 pages ...

Le cahier : 5,40 €

Plus de Produits

Publicité

Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

1234567891011121314abcS0S1S2S3S4S5S6S7S8S9S10N
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourS0S1S2S3S4S5S6S7S8S9S10
Nombre de rues13244242222
Paritéimpairimpairpairpairpairpairpairpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 28 = 2 × 14, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : S0, S1 — il y en a 2.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en S1, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le départ — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'une seule arrivée : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.
3.
Oui. Deux carrefours sont impairs, S0 et S1, et la poste est justement sur l'un des deux (S1). Il part donc de la poste et termine en S0, l'autre carrefour impair.
Voici une tournée possible :
  1. Il part de Rond-point de la Gare (S1), prend la rue de la Poste ② vers le sud et atteint Rond-point de la Poste (S3).
  2. Il tourne à gauche dans la rue Haute ④, vers l'est, jusqu'à Placette des Ormes (S2).
  3. Il prend dans le sentier des Prés ⑤, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour du Lavoir (S6).
  4. Il tourne à droite dans la rue Neuve ⑦, vers le nord, jusqu'à Rond-point de la Poste (S3).
  5. Il tourne à gauche dans l'avenue de la Gare ⑥, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point des Vaches (S4).
  6. Il continue tout droit dans le chemin de Ronde ⑧, vers l'ouest, jusqu'à Place du Vieux-Puits (S5).
  7. Il tourne à gauche dans la rue du Puits ⑩, vers le sud, jusqu'à Place du Marché (S7).
  8. Il tourne à gauche dans l'allée des Peupliers ⑬, vers le sud-est, jusqu'à Place de la Fontaine (S9).
  9. Il tourne à gauche dans la rue du Four ⑭, vers l'est, jusqu'à Place de l'Église (S10).
  10. Il tourne à gauche dans la rue Pasteur ⑪, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour du Lavoir (S6).
  11. Il tourne à gauche dans la rue du Pont ⑫, vers l'ouest, jusqu'à Place aux Herbes (S8).
  12. Il tourne à droite dans la rue de la Mairie ⑨, vers le nord, jusqu'à Rond-point des Vaches (S4).
  13. Il continue tout droit dans la rue des Jardins ③, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point de la Gare (S1).
  14. Il continue tout droit dans l'impasse des Roses ①, vers l'est, jusqu'à Fontaine Notre-Dame (S0).
4.
C'était déjà possible. Notons seulement que la poste devait être en S0 ou en S1 : ailleurs, la tournée n'aurait pas pu commencer.
À remarquer. Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.

Des centaines de PDF disponibles gratuitement !

Pour accéder à nos ressources gratuites, il vous suffit de sélectionner l'activité que vous désirez dans le formulaire au dessus de l'activité du jour. Ensuite, utilisez l'icône appropriée sous les liens de partage pour télécharger vos PDF.

N'oubliez pas, partager fait vivre les sites ! 😊 Merci de votre soutien !

🎓 Pour les enseignants — l'arrière-plan du problème

Ce problème est un parcours eulérien : on emprunte chaque arête une fois. Ces articles du blog vont au-delà du programme du collège : ils sont là pour préparer la séance, pas pour être donnés aux élèves.

🔗 Liens utiles

// Remarques, codes, note de version etc...

Le générateur de cette activité (html, svg, tex et pdf) est écrit en Python 3 ; les PDF sont composés avec LaTeX et les figures sont vectorielles. Mon travail est sous licence Creative commons.

N'hésitez pas à me contacter si vous detectez la moindre imperfection, ou si vous imaginez une amélioration potentielle !

Open source et gratuité n'empêchent ni les dons ni les remerciements 😉
Un euro ou deux pour m'aider à payer le serveur ? ☕ Payez-moi un café via PayPal