site2wouf.fr : La tournée du jour

Pour se marier, il faut un témoin, comme pour un accident ou un duel.

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Fiche n°
mercredi 23 décembre 2026

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
12345678910111213141516abcdABCDEFGHIJN
Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① chemin des Vignes⑨ rue des ÉcolesⒶ Carrefour de l'Hôpitala la poste
② rue des Jardins⑩ rue de la PosteⒷ Rond-point du Pontb la boulangerie
③ chemin du Lavoir⑪ rue des LilasⒸ Coin du Lavoirc l'église
④ rue du Moulin⑫ rue HauteⒹ Carrefour du Moulind la bibliothèque
⑤ rue de l'Église⑬ passage du MarchéⒺ Rond-point de la Poste
⑥ avenue de la Gare⑭ rue PasteurⒻ Carrefour du Lavoir
⑦ allée des Tilleuls⑮ rue VerteⒼ Place du Vieux-Puits
⑧ rue du Pont⑯ allée des PeupliersⒽ Placette des Ormes
Ⓘ Fontaine Notre-Dame
Ⓙ Place des Tanneurs
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?

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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

12345678910111213141516abcdABCDEFGHIJN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGHIJ
Nombre de rues3324842222
Paritéimpairimpairpairpairpairpairpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 32 = 2 × 16, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : A, B — il y en a 2.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en F, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le départ — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'une seule arrivée : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.
3.
Non. Deux carrefours sont impairs, A et B : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.
Or la poste est en F, où aboutit un nombre pair de rues. Ce carrefour ne peut être que traversé, jamais servir de départ.
4.
Oui, une tournée existe — mais elle va de A à B. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il ne reviendrait pas à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.
Ce parcours, en partant de A :
  1. Il part de Carrefour de l'Hôpital (A), prend le chemin des Vignes ① vers l'ouest et atteint Rond-point du Pont (B).
  2. Il tourne à gauche dans la rue du Moulin ④, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour du Moulin (D).
  3. Il tourne à gauche dans la rue des Jardins ②, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (A).
  4. Il prend dans le chemin du Lavoir ③, vers le sud, jusqu'à Rond-point de la Poste (E).
  5. Il tourne à gauche dans l'avenue de la Gare ⑥, vers le nord-est, jusqu'à Coin du Lavoir (C).
  6. Il tourne à droite dans l'allée des Tilleuls ⑦, vers le sud, jusqu'à Place du Vieux-Puits (G).
  7. Il tourne à droite dans la rue des Lilas ⑪, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point de la Poste (E).
  8. Il continue tout droit dans la rue du Pont ⑧, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour du Moulin (D).
  9. Il tourne à gauche dans la rue des Écoles ⑨, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour du Lavoir (F).
  10. Il tourne à gauche dans la rue de la Poste ⑩, vers l'est, jusqu'à Rond-point de la Poste (E).
  11. Il tourne à droite dans la rue Haute ⑫, vers le sud-est, jusqu'à Placette des Ormes (H).
  12. Il tourne à droite dans l'allée des Peupliers ⑯, vers le sud, jusqu'à Place des Tanneurs (J).
  13. Il tourne à droite dans la rue Pasteur ⑭, vers le nord, jusqu'à Rond-point de la Poste (E).
  14. Il tourne à gauche dans le passage du Marché ⑬, vers le sud-ouest, jusqu'à Fontaine Notre-Dame (I).
  15. Il tourne à droite dans la rue Verte ⑮, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour du Lavoir (F).
  16. Il continue tout droit dans la rue de l'Église ⑤, vers le nord, jusqu'à Rond-point du Pont (B).

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