site2wouf.fr : La tournée du jour

Il est toujours stupide de donner des conseils, mais en donner de bons est absolument fatal.

Oscar Wilde

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Fiche n°
Sujet complémentaire

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
12345678910111213abcdeABCDEFGHN
Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① rue de la Mairie⑧ chemin du LavoirⒶ Rond-point de la Garea la poste
② rue des Écoles⑨ sentier des PrésⒷ Carrefour de la Mairieb le cimetière
③ rue des Jardins⑩ rue NeuveⒸ Carrefour des Quatre-Cheminsc la mairie
④ rue Pasteur⑪ passage du MarchéⒹ Rond-point de la Posted la gendarmerie
⑤ rue du Four⑫ boulevard du ParcⒺ Carrefour de l'Hôpitale l'école
⑥ rue Haute⑬ chemin des VignesⒻ Place Sainte-Croix
⑦ rue du StadeⒼ Place de la Fontaine
Ⓗ Place des Tanneurs
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?

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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

12345678910111213abcdeABCDEFGHN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGH
Nombre de rues34643222
Paritéimpairpairpairpairimpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 26 = 2 × 13, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : A, E — il y en a 2.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en A, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le départ — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'une seule arrivée : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.
3.
Oui. Deux carrefours sont impairs, A et E, et la poste est justement sur l'un des deux (A). Il part donc de la poste et termine en E, l'autre carrefour impair.
Voici une tournée possible :
  1. Il part de Rond-point de la Gare (A), prend la rue de la Mairie ① vers l'est et atteint Carrefour de la Mairie (B).
  2. Il tourne à droite dans la rue Pasteur ④, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (C).
  3. Il tourne à droite dans la rue des Écoles ②, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point de la Gare (A).
  4. Il tourne à gauche dans la rue des Jardins ③, vers le sud, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (E).
  5. Il tourne à gauche dans le chemin du Lavoir ⑧, vers l'est, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (C).
  6. Il continue tout droit dans la rue du Stade ⑦, vers l'est, jusqu'à Rond-point de la Poste (D).
  7. Il tourne à gauche dans la rue du Four ⑤, vers le nord, jusqu'à Carrefour de la Mairie (B).
  8. Il tourne à droite dans la rue Haute ⑥, vers le sud-est, jusqu'à Place Sainte-Croix (F).
  9. Il tourne à droite dans le passage du Marché ⑪, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point de la Poste (D).
  10. Il tourne à gauche dans le boulevard du Parc ⑫, vers le sud, jusqu'à Place des Tanneurs (H).
  11. Il tourne à droite dans la rue Neuve ⑩, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (C).
  12. Il tourne à gauche dans le sentier des Prés ⑨, vers le sud-ouest, jusqu'à Place de la Fontaine (G).
  13. Il tourne à droite dans le chemin des Vignes ⑬, vers le nord, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (E).
4.
C'était déjà possible. Notons seulement que la poste devait être en A ou en E : ailleurs, la tournée n'aurait pas pu commencer.

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