site2wouf.fr : La tournée du jour

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Fiche n°
vendredi 6 février 2026

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
12345678910111213141516abcABCDEFGHIN
Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① rue du Pont⑨ rue des LilasⒶ Carrefour des Quatre-Cheminsa la poste
② avenue de la Gare⑩ chemin des VignesⒷ Carrefour de la Mairieb le lavoir
③ rue du Moulin⑪ rue NeuveⒸ Carrefour des Tilleulsc la salle des fêtes
④ rue Basse⑫ rue des JardinsⒹ Carrefour Saint-Roch
⑤ rue des Écoles⑬ passage du MarchéⒺ Place de la Fontaine
⑥ rue de la Mairie⑭ sentier des PrésⒻ Carrefour du Moulin
⑦ allée des Peupliers⑮ venelle du ChatⒼ Rond-point de la Poste
⑧ allée des Tilleuls⑯ rue de la PosteⒽ Place aux Herbes
Ⓘ Rond-point du Pont
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?

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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

12345678910111213141516abcABCDEFGHIN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGHI
Nombre de rues334426424
Paritéimpairimpairpairpairpairpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 32 = 2 × 16, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : A, B — il y en a 2.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en I, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le départ — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'une seule arrivée : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.
3.
Non. Deux carrefours sont impairs, A et B : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.
Or la poste est en I, où aboutit un nombre pair de rues. Ce carrefour ne peut être que traversé, jamais servir de départ.
4.
Oui, une tournée existe — mais elle va de A à B. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il ne reviendrait pas à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.
Ce parcours, en partant de A :
  1. Il part de Carrefour des Quatre-Chemins (A), prend la rue du Pont ① vers l'est et atteint Carrefour de la Mairie (B).
  2. Il tourne à droite dans la rue Basse ④, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (C).
  3. Il tourne à droite dans l'avenue de la Gare ②, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (A).
  4. Il tourne à gauche dans la rue du Moulin ③, vers le sud, jusqu'à Carrefour du Moulin (F).
  5. Il tourne à gauche dans l'allée des Peupliers ⑦, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (C).
  6. Il tourne à droite dans la rue de la Mairie ⑥, vers l'est, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (D).
  7. Il tourne à droite dans l'allée des Tilleuls ⑧, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour du Moulin (F).
  8. Il tourne à droite dans le chemin des Vignes ⑩, vers l'ouest, jusqu'à Place de la Fontaine (E).
  9. Il tourne à gauche dans la rue Neuve ⑪, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point de la Poste (G).
  10. Il tourne à gauche dans la rue des Jardins ⑫, vers l'est, jusqu'à Carrefour du Moulin (F).
  11. Il tourne à droite dans le passage du Marché ⑬, vers le sud, jusqu'à Rond-point du Pont (I).
  12. Il tourne à droite dans la venelle du Chat ⑮, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point de la Poste (G).
  13. Il tourne à gauche dans le sentier des Prés ⑭, vers le sud-ouest, jusqu'à Place aux Herbes (H).
  14. Il tourne à gauche dans la rue de la Poste ⑯, vers l'est, jusqu'à Rond-point du Pont (I).
  15. Il tourne à gauche dans la rue des Lilas ⑨, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (D).
  16. Il continue tout droit dans la rue des Écoles ⑤, vers le nord, jusqu'à Carrefour de la Mairie (B).

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