site2wouf.fr : La tournée du jour

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Thomas A. Edison

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Fiche n°
Sujet complémentaire

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
123456789101112abcdABCDEFGHN
Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① sentier des Prés⑦ rue HauteⒶ Carrefour des Quatre-Cheminsa la poste
② rue du Pont⑧ chemin de RondeⒷ Place du Vieux-Puitsb la gendarmerie
③ rue des Écoles⑨ boulevard du ParcⒸ Rond-point des Vachesc le cimetière
④ rue de l'Église⑩ rue du FourⒹ Carrefour de la Mairied la mairie
⑤ avenue de la Gare⑪ chemin des VignesⒺ Carrefour de l'Hôpital
⑥ rue du Stade⑫ chemin du LavoirⒻ Place de l'Église
Ⓖ Rond-point de la Poste
Ⓗ Place Sainte-Croix
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?

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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

123456789101112abcdABCDEFGHN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGH
Nombre de rues32443242
Paritéimpairpairpairpairimpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 24 = 2 × 12, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : A, E — il y en a 2.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en A, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le départ — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'une seule arrivée : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.
3.
Oui. Deux carrefours sont impairs, A et E, et la poste est justement sur l'un des deux (A). Il part donc de la poste et termine en E, l'autre carrefour impair.
Voici une tournée possible :
  1. Il part de Carrefour des Quatre-Chemins (A), prend le sentier des Prés ① vers l'est et atteint Place du Vieux-Puits (B).
  2. Il tourne à droite dans la rue de l'Église ④, vers le sud, jusqu'à Carrefour de la Mairie (D).
  3. Il tourne à droite dans l'avenue de la Gare ⑤, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point des Vaches (C).
  4. Il tourne à droite dans la rue du Pont ②, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (A).
  5. Il tourne à gauche dans la rue des Écoles ③, vers le sud, jusqu'à Place de l'Église (F).
  6. Il tourne à gauche dans la rue du Stade ⑥, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point des Vaches (C).
  7. Il tourne à droite dans la rue Haute ⑦, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point de la Poste (G).
  8. Il tourne à gauche dans le boulevard du Parc ⑨, vers le nord, jusqu'à Carrefour de la Mairie (D).
  9. Il tourne à droite dans le chemin de Ronde ⑧, vers l'est, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (E).
  10. Il tourne à droite dans la rue du Four ⑩, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point de la Poste (G).
  11. Il prend dans le chemin du Lavoir ⑫, vers l'est, jusqu'à Place Sainte-Croix (H).
  12. Il tourne à gauche dans le chemin des Vignes ⑪, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (E).
4.
C'était déjà possible. Notons seulement que la poste devait être en A ou en E : ailleurs, la tournée n'aurait pas pu commencer.

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