site2wouf.fr : La tournée du jour

Je suis content de m'être procuré le dictionnaire des synonymes, je suis satisfait d'avoir acquis le glossaire des équivalences. Mais je suis aussi réjouis de m'être offert le lexique des similitudes

Philippe Geluck. (Sur Mon tshirt!)

Partager :

Facebook X (Twitter) LinkedIn Email WhatsApp

🔑 Code de cette fiche :

imprimer LaTeX
ℹ️

Besoin d'aide sur les graphes et le critère d'Euler ?

Consultez la page du catalogue pour retrouver le critère d'Euler et le raisonnement sur la parité des degrés.

📚 Voir les ressources pédagogiques

Fiche n°
Sujet complémentaire

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
123456789101112131415161718abcdeS0S1S2S3S4S5S6S7S8S9S10S11N
Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① venelle du Chat⑩ quai aux FleursS0 Place du Vieux-Puitsa la poste
② allée des Tilleuls⑪ impasse des CerisiersS1 Place aux Herbesb la mairie
③ rue Neuve⑫ rue de l'ÉgliseS2 Rond-point de la Garec le stade
④ rue de la Mairie⑬ rue des LilasS3 Place des Tanneursd la salle des fêtes
⑤ chemin des Vignes⑭ rue de la PosteS4 Placette des Ormese l'église
⑥ boulevard du Parc⑮ rue BasseS5 Rond-point des Vaches
⑦ avenue de la Gare⑯ rue des JardinsS6 Carrefour des Tilleuls
⑧ impasse Sainte-Anne⑰ rue VerteS7 Place de l'Église
⑨ rue Haute⑱ rue du MoulinS8 Rond-point du Pont
S9 Rond-point du Stade
S10 Place du Marché
S11 Coin du Lavoir
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?

Un cahier d'exercices de 128 pages ...

Le cahier : 5,40 €

Plus de Produits

Publicité

Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

123456789101112131415161718abcdeS0S1S2S3S4S5S6S7S8S9S10S11N
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourS0S1S2S3S4S5S6S7S8S9S10S11
Nombre de rues226126414422
Paritépairpairpairimpairpairpairpairimpairpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 36 = 2 × 18, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : S3, S7 — il y en a 2.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en S7, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le départ — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'une seule arrivée : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.
3.
Oui. Deux carrefours sont impairs, S3 et S7, et la poste est justement sur l'un des deux (S7). Il part donc de la poste et termine en S3, l'autre carrefour impair.
Voici une tournée possible :
  1. Il part de Place de l'Église (S7), prend l'impasse des Cerisiers ⑪ vers l'ouest et atteint Rond-point des Vaches (S5).
  2. Il continue tout droit dans le chemin des Vignes ⑤, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point de la Gare (S2).
  3. Il continue tout droit dans l'allée des Tilleuls ②, vers le nord-ouest, jusqu'à Place du Vieux-Puits (S0).
  4. Il prend dans la venelle du Chat ①, vers l'est, jusqu'à Place aux Herbes (S1).
  5. Il tourne à droite dans la rue Neuve ③, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point de la Gare (S2).
  6. Il tourne à gauche dans la rue de la Mairie ④, vers l'est, jusqu'à Placette des Ormes (S4).
  7. Il tourne à droite dans la rue Haute ⑨, vers le sud, jusqu'à Rond-point des Vaches (S5).
  8. Il continue tout droit dans le quai aux Fleurs ⑩, vers le sud, jusqu'à Place du Marché (S10).
  9. Il tourne à droite dans la rue Verte ⑰, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point du Stade (S9).
  10. Il continue tout droit dans la rue Basse ⑮, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (S6).
  11. Il tourne à droite dans le boulevard du Parc ⑥, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point de la Gare (S2).
  12. Il tourne à droite dans l'avenue de la Gare ⑦, vers le sud, jusqu'à Rond-point du Pont (S8).
  13. Il tourne à droite dans la rue de la Poste ⑭, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (S6).
  14. Il tourne à gauche dans la rue des Lilas ⑬, vers le sud, jusqu'à Coin du Lavoir (S11).
  15. Il tourne à gauche dans la rue du Moulin ⑱, vers l'est, jusqu'à Rond-point du Stade (S9).
  16. Il tourne à gauche dans la rue des Jardins ⑯, vers le nord, jusqu'à Rond-point du Pont (S8).
  17. Il tourne à droite dans la rue de l'Église ⑫, vers l'est, jusqu'à Rond-point des Vaches (S5).
  18. Il continue tout droit dans l'impasse Sainte-Anne ⑧, vers le nord-est, jusqu'à Place des Tanneurs (S3).
4.
C'était déjà possible. Notons seulement que la poste devait être en S3 ou en S7 : ailleurs, la tournée n'aurait pas pu commencer.
À remarquer. Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.

Des centaines de PDF disponibles gratuitement !

Pour accéder à nos ressources gratuites, il vous suffit de sélectionner l'activité que vous désirez dans le formulaire au dessus de l'activité du jour. Ensuite, utilisez l'icône appropriée sous les liens de partage pour télécharger vos PDF.

N'oubliez pas, partager fait vivre les sites ! 😊 Merci de votre soutien !

🎓 Pour les enseignants — l'arrière-plan du problème

Ce problème est un parcours eulérien : on emprunte chaque arête une fois. Ces articles du blog vont au-delà du programme du collège : ils sont là pour préparer la séance, pas pour être donnés aux élèves.

🔗 Liens utiles

// Remarques, codes, note de version etc...

Le générateur de cette activité (html, svg, tex et pdf) est écrit en Python 3 ; les PDF sont composés avec LaTeX et les figures sont vectorielles. Mon travail est sous licence Creative commons.

N'hésitez pas à me contacter si vous detectez la moindre imperfection, ou si vous imaginez une amélioration potentielle !

Open source et gratuité n'empêchent ni les dons ni les remerciements 😉
Un euro ou deux pour m'aider à payer le serveur ? ☕ Payez-moi un café via PayPal