site2wouf.fr : La tournée du jour

Les lions ont une grosse tête afin qu'ils ne puissent pas passer à travers les barreaux.

Pierre Doris (3 designs !)

Partager :

Facebook X (Twitter) LinkedIn Email WhatsApp

🔑 Code de cette fiche :

imprimer LaTeX
ℹ️

Besoin d'aide sur les graphes et le critère d'Euler ?

Consultez la page du catalogue pour retrouver le critère d'Euler et le raisonnement sur la parité des degrés.

📚 Voir les ressources pédagogiques

Fiche n°
Sujet complémentaire

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
12345678910111213141516abcdS0S1S2S3S4S5S6S7S8S9S10N
Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① rue Pasteur⑨ chemin de RondeS0 Carrefour du Lavoira la poste
② rue des Écoles⑩ rue de la PosteS1 Place de la Fontaineb le gymnase
③ rue du Stade⑪ rue des JardinsS2 Coin du Lavoirc la salle des fêtes
④ rue Verte⑫ chemin du LavoirS3 Carrefour des Quatre-Cheminsd l'église
⑤ impasse des Cerisiers⑬ avenue de la GareS4 Rond-point du Pont
⑥ allée des Peupliers⑭ rue du MoulinS5 Rond-point des Vaches
⑦ sentier des Prés⑮ rue du FourS6 Carrefour de l'Hôpital
⑧ rue de l'Église⑯ boulevard du ParcS7 Place du Marché
S8 Place du Vieux-Puits
S9 Rond-point du Stade
S10 Place de l'Église
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?

Un cahier d'exercices de 128 pages ...

Le cahier : 5,40 €

Plus de Produits

Publicité

Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

12345678910111213141516abcdS0S1S2S3S4S5S6S7S8S9S10N
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourS0S1S2S3S4S5S6S7S8S9S10
Nombre de rues41243442242
Paritépairimpairpairpairimpairpairpairpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 32 = 2 × 16, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : S1, S4 — il y en a 2.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en S5, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le départ — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'une seule arrivée : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.
3.
Non. Deux carrefours sont impairs, S1 et S4 : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.
Or la poste est en S5, où aboutit un nombre pair de rues. Ce carrefour ne peut être que traversé, jamais servir de départ.
4.
Oui, une tournée existe — mais elle va de S1 à S4. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il ne reviendrait pas à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.
Ce parcours, en partant de S1 :
  1. Il part de Place de la Fontaine (S1), prend l'impasse des Cerisiers ⑤ vers l'est et atteint Coin du Lavoir (S2).
  2. Il tourne à gauche dans la rue Pasteur ①, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour du Lavoir (S0).
  3. Il tourne à droite dans la rue des Écoles ②, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (S3).
  4. Il tourne à gauche dans l'allée des Peupliers ⑥, vers l'est, jusqu'à Rond-point des Vaches (S5).
  5. Il tourne à gauche dans la rue Verte ④, vers le nord, jusqu'à Carrefour du Lavoir (S0).
  6. Il tourne à droite dans la rue du Stade ③, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point du Pont (S4).
  7. Il tourne à droite dans le chemin de Ronde ⑨, vers le sud, jusqu'à Place de l'Église (S10).
  8. Il tourne à droite dans le chemin du Lavoir ⑫, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (S6).
  9. Il continue tout droit dans le sentier des Prés ⑦, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (S3).
  10. Il prend dans la rue de l'Église ⑧, vers le sud, jusqu'à Rond-point du Stade (S9).
  11. Il tourne à droite dans la rue du Four ⑮, vers le nord-ouest, jusqu'à Place du Marché (S7).
  12. Il prend dans la rue du Moulin ⑭, vers le sud, jusqu'à Place du Vieux-Puits (S8).
  13. Il tourne à gauche dans le boulevard du Parc ⑯, vers l'est, jusqu'à Rond-point du Stade (S9).
  14. Il tourne à gauche dans l'avenue de la Gare ⑬, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (S6).
  15. Il tourne à gauche dans la rue des Jardins ⑪, vers le nord, jusqu'à Rond-point des Vaches (S5).
  16. Il tourne à droite dans la rue de la Poste ⑩, vers l'est, jusqu'à Rond-point du Pont (S4).
À remarquer. Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.

Des centaines de PDF disponibles gratuitement !

Pour accéder à nos ressources gratuites, il vous suffit de sélectionner l'activité que vous désirez dans le formulaire au dessus de l'activité du jour. Ensuite, utilisez l'icône appropriée sous les liens de partage pour télécharger vos PDF.

N'oubliez pas, partager fait vivre les sites ! 😊 Merci de votre soutien !

🎓 Pour les enseignants — l'arrière-plan du problème

Ce problème est un parcours eulérien : on emprunte chaque arête une fois. Ces articles du blog vont au-delà du programme du collège : ils sont là pour préparer la séance, pas pour être donnés aux élèves.

🔗 Liens utiles

// Remarques, codes, note de version etc...

Le générateur de cette activité (html, svg, tex et pdf) est écrit en Python 3 ; les PDF sont composés avec LaTeX et les figures sont vectorielles. Mon travail est sous licence Creative commons.

N'hésitez pas à me contacter si vous detectez la moindre imperfection, ou si vous imaginez une amélioration potentielle !

Open source et gratuité n'empêchent ni les dons ni les remerciements 😉
Un euro ou deux pour m'aider à payer le serveur ? ☕ Payez-moi un café via PayPal