site2wouf.fr : La tournée du jour

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Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
12345678910111213141516abcdABCDEFGHJKLN
Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① rue Pasteur⑨ chemin de RondeⒶ Carrefour du Lavoira la poste
② rue des Écoles⑩ rue de la PosteⒷ Place de la Fontaineb le gymnase
③ rue du Stade⑪ rue des JardinsⒸ Coin du Lavoirc la salle des fêtes
④ rue Verte⑫ chemin du LavoirⒹ Carrefour des Quatre-Cheminsd l'église
⑤ impasse des Cerisiers⑬ avenue de la GareⒺ Rond-point du Pont
⑥ allée des Peupliers⑭ rue du MoulinⒻ Rond-point des Vaches
⑦ sentier des Prés⑮ rue du FourⒼ Carrefour de l'Hôpital
⑧ rue de l'Église⑯ boulevard du ParcⒽ Place du Marché
Ⓙ Place du Vieux-Puits
Ⓚ Rond-point du Stade
Ⓛ Place de l'Église
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

12345678910111213141516abcdABCDEFGHJKLN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGHJKL
Nombre de rues41243442242
Paritépairimpairpairpairimpairpairpairpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 32 = 2 × 16, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : B, E — il y en a 2.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en F, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le départ — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'une seule arrivée : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.
3.
Non. Deux carrefours sont impairs, B et E : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.
Or la poste est en F, où aboutit un nombre pair de rues. Ce carrefour ne peut être que traversé, jamais servir de départ.
4.
Oui, une tournée existe — mais elle va de B à E. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il ne reviendrait pas à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.
Ce parcours, en partant de B :
  1. Il part de Place de la Fontaine (B), prend l'impasse des Cerisiers ⑤ vers l'est et atteint Coin du Lavoir (C).
  2. Il tourne à gauche dans la rue Pasteur ①, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour du Lavoir (A).
  3. Il tourne à droite dans la rue des Écoles ②, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (D).
  4. Il tourne à gauche dans l'allée des Peupliers ⑥, vers l'est, jusqu'à Rond-point des Vaches (F).
  5. Il tourne à gauche dans la rue Verte ④, vers le nord, jusqu'à Carrefour du Lavoir (A).
  6. Il tourne à droite dans la rue du Stade ③, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point du Pont (E).
  7. Il tourne à droite dans le chemin de Ronde ⑨, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point des Vaches (F).
  8. Il tourne à gauche dans la rue des Jardins ⑪, vers le sud, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (G).
  9. Il tourne à droite dans le sentier des Prés ⑦, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (D).
  10. Il prend dans la rue de l'Église ⑧, vers le sud, jusqu'à Rond-point du Stade (K).
  11. Il tourne à droite dans la rue du Four ⑮, vers le nord-ouest, jusqu'à Place du Marché (H).
  12. Il prend dans la rue du Moulin ⑭, vers le sud, jusqu'à Place du Vieux-Puits (J).
  13. Il tourne à gauche dans le boulevard du Parc ⑯, vers l'est, jusqu'à Rond-point du Stade (K).
  14. Il tourne à gauche dans le chemin du Lavoir ⑫, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (G).
  15. Il tourne à droite dans l'avenue de la Gare ⑬, vers le sud-est, jusqu'à Place de l'Église (L).
  16. Il tourne à gauche dans la rue de la Poste ⑩, vers le nord, jusqu'à Rond-point du Pont (E).
À remarquer. Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.

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