site2wouf.fr : La tournée du jour

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Fiche n°
Sujet complémentaire

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
12345678910111213141516abcdS0S1S2S3S4S5S6S7S8S9S10N
Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① rue des Lilas⑨ rue BasseS0 Carrefour de l'Hôpitala la poste
② avenue de la Gare⑩ chemin du LavoirS1 Place Sainte-Croixb le stade
③ quai aux Fleurs⑪ rue de la PosteS2 Fontaine Notre-Damec le marché couvert
④ rue des Jardins⑫ rue PasteurS3 Carrefour Saint-Rochd la mairie
⑤ chemin des Vignes⑬ allée des PeupliersS4 Place du Vieux-Puits
⑥ rue de l'Église⑭ rue du PontS5 Carrefour des Quatre-Chemins
⑦ rue du Puits⑮ allée des TilleulsS6 Rond-point du Pont
⑧ sentier des Prés⑯ chemin de RondeS7 Place aux Herbes
S8 Rond-point de la Gare
S9 Rond-point de la Poste
S10 Place des Tanneurs
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?

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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

12345678910111213141516abcdS0S1S2S3S4S5S6S7S8S9S10N
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourS0S1S2S3S4S5S6S7S8S9S10
Nombre de rues32242442432
Paritéimpairpairpairpairpairpairpairpairpairimpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 32 = 2 × 16, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : S0, S9 — il y en a 2.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en S0, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le départ — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'une seule arrivée : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.
3.
Oui. Deux carrefours sont impairs, S0 et S9, et la poste est justement sur l'un des deux (S0). Il part donc de la poste et termine en S9, l'autre carrefour impair.
Voici une tournée possible :
  1. Il part de Carrefour de l'Hôpital (S0), prend la rue des Lilas ① vers l'ouest et atteint Place Sainte-Croix (S1).
  2. Il tourne à gauche dans la rue des Jardins ④, vers le sud, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (S3).
  3. Il prend dans le quai aux Fleurs ③, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (S0).
  4. Il tourne à droite dans l'avenue de la Gare ②, vers le sud-est, jusqu'à Fontaine Notre-Dame (S2).
  5. Il continue tout droit dans le chemin des Vignes ⑤, vers le sud, jusqu'à Place des Tanneurs (S10).
  6. Il tourne à droite dans le chemin de Ronde ⑯, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point de la Poste (S9).
  7. Il tourne à droite dans l'allée des Peupliers ⑬, vers le nord, jusqu'à Rond-point du Pont (S6).
  8. Il continue tout droit dans le sentier des Prés ⑧, vers le nord, jusqu'à Place du Vieux-Puits (S4).
  9. Il tourne à gauche dans la rue de l'Église ⑥, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (S3).
  10. Il tourne à gauche dans la rue du Puits ⑦, vers le sud, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (S5).
  11. Il tourne à gauche dans la rue Basse ⑨, vers l'est, jusqu'à Rond-point du Pont (S6).
  12. Il tourne à droite dans la rue Pasteur ⑫, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point de la Gare (S8).
  13. Il tourne à droite dans la rue de la Poste ⑪, vers le nord, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (S5).
  14. Il tourne à gauche dans le chemin du Lavoir ⑩, vers l'ouest, jusqu'à Place aux Herbes (S7).
  15. Il prend dans la rue du Pont ⑭, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point de la Gare (S8).
  16. Il continue tout droit dans l'allée des Tilleuls ⑮, vers l'est, jusqu'à Rond-point de la Poste (S9).
4.
C'était déjà possible. Notons seulement que la poste devait être en S0 ou en S9 : ailleurs, la tournée n'aurait pas pu commencer.

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