site2wouf.fr : La tournée du jour

Si tu dors et que tu rêves que tu dors, il faut que tu te réveilles deux fois pour te lever.

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Fiche n°
Sujet complémentaire

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
12345678910111213abcABCDEFGHIJN
Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① rue des Lilas⑧ rue du MoulinⒶ Place de l'Églisea la poste
② rue du Puits⑨ rue du FourⒷ Placette des Ormesb la boulangerie
③ impasse du Puits⑩ chemin des VignesⒸ Fontaine Notre-Damec l'église
④ rue Pasteur⑪ rue BasseⒹ Carrefour du Moulin
⑤ rue de la Mairie⑫ chemin CreuxⒺ Carrefour des Tilleuls
⑥ rue de l'Église⑬ rue des ÉcolesⒻ Coin du Lavoir
⑦ passage du MarchéⒼ Carrefour du Lavoir
Ⓗ Rond-point de la Poste
Ⓘ Place des Tanneurs
Ⓙ Place aux Herbes
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?

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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

12345678910111213abcABCDEFGHIJN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGHIJ
Nombre de rues2124424322
Paritépairimpairpairpairpairpairpairimpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 26 = 2 × 13, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : B, H — il y en a 2.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en H, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le départ — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'une seule arrivée : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.
3.
Oui. Deux carrefours sont impairs, B et H, et la poste est justement sur l'un des deux (H). Il part donc de la poste et termine en B, l'autre carrefour impair.
Voici une tournée possible :
  1. Il part de Rond-point de la Poste (H), prend le passage du Marché ⑦ vers le nord et atteint Carrefour du Moulin (D).
  2. Il tourne à droite dans la rue des Lilas ①, vers le nord-est, jusqu'à Place de l'Église (A).
  3. Il tourne à droite dans la rue du Puits ②, vers le sud, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (E).
  4. Il tourne à gauche dans la rue Pasteur ④, vers l'est, jusqu'à Fontaine Notre-Dame (C).
  5. Il prend dans la rue de la Mairie ⑤, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour du Lavoir (G).
  6. Il tourne à droite dans la rue Basse ⑪, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point de la Poste (H).
  7. Il continue tout droit dans la rue du Four ⑨, vers l'ouest, jusqu'à Coin du Lavoir (F).
  8. Il prend dans le chemin des Vignes ⑩, vers le sud-est, jusqu'à Place aux Herbes (J).
  9. Il tourne à gauche dans la rue des Écoles ⑬, vers l'est, jusqu'à Place des Tanneurs (I).
  10. Il tourne à gauche dans le chemin Creux ⑫, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour du Lavoir (G).
  11. Il tourne à droite dans la rue du Moulin ⑧, vers le nord, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (E).
  12. Il tourne à gauche dans la rue de l'Église ⑥, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour du Moulin (D).
  13. Il tourne à droite dans l'impasse du Puits ③, vers le nord-ouest, jusqu'à Placette des Ormes (B).
4.
C'était déjà possible. Notons seulement que la poste devait être en B ou en H : ailleurs, la tournée n'aurait pas pu commencer.
À remarquer. Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.

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