site2wouf.fr : La tournée du jour

Ce n'est pas parce qu'en hiver on dit «fermez la porte, il fait froid dehors», qu'il fait moins froid dehors quand la porte est fermée.

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Fiche n°
Sujet complémentaire

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
123456789101112131415161718192021abcdeS0S1S2S3S4S5S6S7S8S9S10S11N
Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① allée des Peupliers⑫ chemin CreuxS0 Fontaine Notre-Damea la poste
② rue Pasteur⑬ rue du PontS1 Place de l'Égliseb le lavoir
③ boulevard du Parc⑭ rue BasseS2 Carrefour de l'Hôpitalc le cimetière
④ rue de la Mairie⑮ chemin de RondeS3 Carrefour du Moulind l'église
⑤ chemin des Vignes⑯ venelle du ChatS4 Carrefour des Quatre-Cheminse le marché couvert
⑥ rue Neuve⑰ rue HauteS5 Rond-point de la Poste
⑦ rue de la Poste⑱ quai aux FleursS6 Carrefour Saint-Roch
⑧ chemin du Lavoir⑲ rue du FourS7 Rond-point des Vaches
⑨ rue des Lilas⑳ rue VerteS8 Coin du Lavoir
⑩ rue des Écoles21 sentier des PrésS9 Rond-point du Pont
⑪ rue de l'ÉgliseS10 Placette des Ormes
S11 Place du Vieux-Puits
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?

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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

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1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourS0S1S2S3S4S5S6S7S8S9S10S11
Nombre de rues224448442422
Paritépairpairpairpairpairpairpairpairpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 42 = 2 × 21, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Aucun carrefour n'a un nombre impair de rues : ils sont tous pairs.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en S2, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le départ — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'une seule arrivée : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.
3.
Oui. Aucun carrefour n'est impair : chacun peut être traversé de part en part. Le facteur revient même à la poste sans l'avoir cherché.
Voici une tournée possible — ce n'est pas la seule :
  1. Il part de Carrefour de l'Hôpital (S2), prend l'allée des Peupliers ① vers le nord et atteint Fontaine Notre-Dame (S0).
  2. Il tourne à droite dans la rue Pasteur ②, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (S4).
  3. Il tourne à droite dans la rue Neuve ⑥, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (S2).
  4. Il continue tout droit dans le chemin des Vignes ⑤, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour du Moulin (S3).
  5. Il continue tout droit dans le boulevard du Parc ③, vers l'ouest, jusqu'à Place de l'Église (S1).
  6. Il tourne à gauche dans la rue de la Mairie ④, vers le sud, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (S6).
  7. Il prend dans la rue des Lilas ⑨, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour du Moulin (S3).
  8. Il tourne à droite dans le chemin du Lavoir ⑧, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point de la Poste (S5).
  9. Il tourne à gauche dans la rue des Écoles ⑩, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (S4).
  10. Il tourne à droite dans la rue de l'Église ⑪, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point des Vaches (S7).
  11. Il prend dans la rue Basse ⑭, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point de la Poste (S5).
  12. Il tourne à gauche dans le chemin Creux ⑫, vers le sud-ouest, jusqu'à Placette des Ormes (S10).
  13. Il tourne à droite dans la rue Haute ⑰, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (S6).
  14. Il tourne à droite dans la rue du Pont ⑬, vers l'est, jusqu'à Rond-point de la Poste (S5).
  15. Il tourne à droite dans le chemin de Ronde ⑮, vers le sud, jusqu'à Coin du Lavoir (S8).
  16. Il tourne à gauche dans la rue Verte ⑳, vers l'est, jusqu'à Rond-point du Pont (S9).
  17. Il tourne à gauche dans la rue du Four ⑲, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point des Vaches (S7).
  18. Il tourne à droite dans le quai aux Fleurs ⑱, vers le sud, jusqu'à Place du Vieux-Puits (S11).
  19. Il tourne à droite dans le sentier des Prés 21, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point du Pont (S9).
  20. Il continue tout droit dans la venelle du Chat ⑯, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point de la Poste (S5).
  21. Il tourne à droite dans la rue de la Poste ⑦, vers le nord, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (S2).
4.
La question ne se pose pas : la tournée est possible au départ de la poste, et elle le resterait où qu'on installe celle-ci — aucun carrefour n'est impair.

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