site2wouf.fr : La tournée du jour

L'homme est le seul animal qui rougisse ; c'est d'ailleurs le seul animal qui ait à rougir de quelque chose.

George Bernard Shaw (sur Mon tshirt!)

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Fiche n°
Sujet complémentaire

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
123456789101112131415161718192021abcdS0S1S2S3S4S5S6S7S8S9S10S11S12S13N
Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① avenue de la Gare⑫ passage du MarchéS0 Fontaine Notre-Damea la poste
② rue Haute⑬ boulevard du ParcS1 Placette des Ormesb le stade
③ impasse des Cerisiers⑭ rue de la MairieS2 Place Sainte-Croixc le marché couvert
④ allée des Peupliers⑮ rue du PontS3 Carrefour de la Mairied le gymnase
⑤ sentier des Prés⑯ rue NeuveS4 Carrefour des Quatre-Chemins
⑥ rue Verte⑰ chemin de RondeS5 Carrefour Saint-Roch
⑦ rue du Moulin⑱ chemin CreuxS6 Rond-point des Vaches
⑧ rue du Stade⑲ rue du FourS7 Carrefour des Tilleuls
⑨ rue des Jardins⑳ allée des TilleulsS8 Place de la Fontaine
⑩ venelle du Chat21 rue du PuitsS9 Carrefour du Moulin
⑪ chemin du LavoirS10 Carrefour de l'Hôpital
S11 Place de l'Église
S12 Place aux Herbes
S13 Place des Tanneurs
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?

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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

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1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourS0S1S2S3S4S5S6S7S8S9S10S11S12S13
Nombre de rues21246344244222
Paritépairimpairpairpairpairimpairpairpairpairpairpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 42 = 2 × 21, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : S1, S5 — il y en a 2.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en S3, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le départ — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'une seule arrivée : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.
3.
Non. Deux carrefours sont impairs, S1 et S5 : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.
Or la poste est en S3, où aboutit un nombre pair de rues. Ce carrefour ne peut être que traversé, jamais servir de départ.
4.
Oui, une tournée existe — mais elle va de S1 à S5. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il ne reviendrait pas à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.
Ce parcours, en partant de S1 :
  1. Il part de Placette des Ormes (S1), prend l'impasse des Cerisiers ③ vers le sud et atteint Carrefour des Quatre-Chemins (S4).
  2. Il prend dans la rue Haute ②, vers le nord-ouest, jusqu'à Fontaine Notre-Dame (S0).
  3. Il tourne à gauche dans l'avenue de la Gare ①, vers l'ouest, jusqu'à Place Sainte-Croix (S2).
  4. Il prend dans la rue Verte ⑥, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour de la Mairie (S3).
  5. Il continue tout droit dans la rue du Moulin ⑦, vers l'est, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (S4).
  6. Il tourne à droite dans le chemin du Lavoir ⑪, vers le sud, jusqu'à Place de la Fontaine (S8).
  7. Il tourne à gauche dans la rue du Four ⑲, vers l'est, jusqu'à Carrefour du Moulin (S9).
  8. Il tourne à droite dans l'allée des Tilleuls ⑳, vers le sud-ouest, jusqu'à Place de l'Église (S11).
  9. Il tourne à gauche dans le sentier des Prés ⑤, vers l'est, jusqu'à Place aux Herbes (S12).
  10. Il tourne à gauche dans la rue du Puits 21, vers le nord, jusqu'à Carrefour du Moulin (S9).
  11. Il tourne à gauche dans le passage du Marché ⑫, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (S4).
  12. Il tourne à gauche dans la venelle du Chat ⑩, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point des Vaches (S6).
  13. Il tourne à droite dans la rue du Stade ⑧, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour de la Mairie (S3).
  14. Il tourne à gauche dans la rue des Jardins ⑨, vers le sud, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (S7).
  15. Il tourne à droite dans la rue du Pont ⑮, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (S5).
  16. Il tourne à gauche dans le boulevard du Parc ⑬, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (S10).
  17. Il tourne à gauche dans la rue Neuve ⑯, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point des Vaches (S6).
  18. Il tourne à gauche dans le chemin de Ronde ⑰, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (S7).
  19. Il tourne à gauche dans le chemin Creux ⑱, vers le sud, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (S10).
  20. Il tourne à droite dans l'allée des Peupliers ④, vers l'ouest, jusqu'à Place des Tanneurs (S13).
  21. Il tourne à droite dans la rue de la Mairie ⑭, vers le nord, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (S5).
À remarquer. Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.

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