site2wouf.fr : La tournée du jour

Si les gens sont si méchants, c'est peut-être seulement parce qu'ils souffrent.

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Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
123456789101112131415161718192021abcdABCDEFGHJKLMPQN
Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① avenue de la Gare⑫ passage du MarchéⒶ Fontaine Notre-Damea la poste
② rue Haute⑬ boulevard du ParcⒷ Placette des Ormesb le stade
③ impasse des Cerisiers⑭ rue de la MairieⒸ Place Sainte-Croixc le marché couvert
④ allée des Peupliers⑮ rue du PontⒹ Carrefour de la Mairied le gymnase
⑤ sentier des Prés⑯ rue NeuveⒺ Carrefour des Quatre-Chemins
⑥ rue Verte⑰ chemin de RondeⒻ Carrefour Saint-Roch
⑦ rue du Moulin⑱ chemin CreuxⒼ Rond-point des Vaches
⑧ rue du Stade⑲ rue du FourⒽ Carrefour des Tilleuls
⑨ rue des Jardins⑳ allée des TilleulsⒿ Place de la Fontaine
⑩ venelle du Chat㉑ rue du PuitsⓀ Carrefour du Moulin
⑪ chemin du LavoirⓁ Carrefour de l'Hôpital
Ⓜ Place de l'Église
Ⓟ Place aux Herbes
Ⓠ Place des Tanneurs
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

123456789101112131415161718192021abcdABCDEFGHJKLMPQN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGHJKLMPQ
Nombre de rues21246344244222
Paritépairimpairpairpairpairimpairpairpairpairpairpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 42 = 2 × 21, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : B, F — il y en a 2.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en D, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le départ — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'une seule arrivée : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.
3.
Non. Deux carrefours sont impairs, B et F : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.
Or la poste est en D, où aboutit un nombre pair de rues. Ce carrefour ne peut être que traversé, jamais servir de départ.
4.
Oui, une tournée existe — mais elle va de B à F. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il ne reviendrait pas à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.
Ce parcours, en partant de B :
  1. Il part de Placette des Ormes (B), prend l'impasse des Cerisiers ③ vers le sud et atteint Carrefour des Quatre-Chemins (E).
  2. Il prend dans la rue Haute ②, vers le nord-ouest, jusqu'à Fontaine Notre-Dame (A).
  3. Il tourne à gauche dans l'avenue de la Gare ①, vers l'ouest, jusqu'à Place Sainte-Croix (C).
  4. Il prend dans l'allée des Peupliers ④, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour de la Mairie (D).
  5. Il continue tout droit dans le sentier des Prés ⑤, vers l'est, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (E).
  6. Il tourne à droite dans la rue des Jardins ⑨, vers le sud, jusqu'à Place de la Fontaine (J).
  7. Il tourne à gauche dans le chemin de Ronde ⑰, vers l'est, jusqu'à Carrefour du Moulin (K).
  8. Il tourne à droite dans le chemin Creux ⑱, vers le sud-ouest, jusqu'à Place de l'Église (M).
  9. Il tourne à gauche dans la rue du Puits ㉑, vers l'est, jusqu'à Place aux Herbes (P).
  10. Il tourne à gauche dans la rue du Four ⑲, vers le nord, jusqu'à Carrefour du Moulin (K).
  11. Il tourne à gauche dans la venelle du Chat ⑩, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (E).
  12. Il tourne à gauche dans la rue du Stade ⑧, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point des Vaches (G).
  13. Il tourne à droite dans la rue Verte ⑥, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour de la Mairie (D).
  14. Il tourne à gauche dans la rue du Moulin ⑦, vers le sud, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (H).
  15. Il tourne à droite dans le chemin du Lavoir ⑪, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (F).
  16. Il tourne à gauche dans le passage du Marché ⑫, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (L).
  17. Il tourne à gauche dans la rue du Pont ⑮, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point des Vaches (G).
  18. Il prend dans la rue de la Mairie ⑭, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (H).
  19. Il tourne à gauche dans la rue Neuve ⑯, vers le sud, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (L).
  20. Il tourne à droite dans l'allée des Tilleuls ⑳, vers l'ouest, jusqu'à Place des Tanneurs (Q).
  21. Il tourne à droite dans le boulevard du Parc ⑬, vers le nord, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (F).
À remarquer. Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.

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