site2wouf.fr : La tournée du jour

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Fiche n°
Sujet complémentaire

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
123456789101112131415abcdABCDEFGHIJN
Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① venelle du Chat⑨ rue de l'ÉgliseⒶ Place Sainte-Croixa la poste
② rue du Puits⑩ rue HauteⒷ Placette des Ormesb l'église
③ chemin du Lavoir⑪ rue de la PosteⒸ Rond-point de la Garec la boulangerie
④ rue Pasteur⑫ rue VerteⒹ Rond-point de la Posted la gendarmerie
⑤ allée des Peupliers⑬ rue des JardinsⒺ Carrefour de l'Hôpital
⑥ chemin Creux⑭ rue du StadeⒻ Coin du Lavoir
⑦ quai aux Fleurs⑮ rue du PontⒼ Rond-point des Vaches
⑧ rue de la MairieⒽ Carrefour du Moulin
Ⓘ Place du Vieux-Puits
Ⓙ Place de la Fontaine
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?

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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

123456789101112131415abcdABCDEFGHIJN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGHIJ
Nombre de rues2244424422
Paritépairpairpairpairpairpairpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 30 = 2 × 15, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Aucun carrefour n'a un nombre impair de rues : ils sont tous pairs.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en G, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le départ — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'une seule arrivée : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.
3.
Oui. Aucun carrefour n'est impair : chacun peut être traversé de part en part. Le facteur revient même à la poste sans l'avoir cherché.
Voici une tournée possible — ce n'est pas la seule :
  1. Il part de Rond-point des Vaches (G), prend la rue Haute ⑩ vers le nord-ouest et atteint Carrefour de l'Hôpital (E).
  2. Il tourne à droite dans la rue Pasteur ④, vers le nord, jusqu'à Placette des Ormes (B).
  3. Il tourne à gauche dans le chemin du Lavoir ③, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point de la Gare (C).
  4. Il tourne à droite dans la venelle du Chat ①, vers le nord, jusqu'à Place Sainte-Croix (A).
  5. Il prend dans la rue du Puits ②, vers le sud, jusqu'à Rond-point de la Poste (D).
  6. Il prend dans l'allée des Peupliers ⑤, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point de la Gare (C).
  7. Il tourne à droite dans le chemin Creux ⑥, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (E).
  8. Il continue tout droit dans la rue de l'Église ⑨, vers l'est, jusqu'à Coin du Lavoir (F).
  9. Il prend dans la rue de la Poste ⑪, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point des Vaches (G).
  10. Il tourne à gauche dans la rue Verte ⑫, vers le sud, jusqu'à Carrefour du Moulin (H).
  11. Il tourne à droite dans le quai aux Fleurs ⑦, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point de la Poste (D).
  12. Il prend dans la rue de la Mairie ⑧, vers le sud, jusqu'à Place du Vieux-Puits (I).
  13. Il tourne à gauche dans la rue du Stade ⑭, vers l'est, jusqu'à Carrefour du Moulin (H).
  14. Il tourne à droite dans la rue du Pont ⑮, vers l'est, jusqu'à Place de la Fontaine (J).
  15. Il tourne à gauche dans la rue des Jardins ⑬, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point des Vaches (G).
4.
La question ne se pose pas : la tournée est possible au départ de la poste, et elle le resterait où qu'on installe celle-ci — aucun carrefour n'est impair.

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