site2wouf.fr : La tournée du jour

Quand on ne sait pas, on a peur.

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Fiche n°
Sujet complémentaire

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
123456789101112131415abcABCDEFGHIJN
Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① rue Verte⑨ rue NeuveⒶ Place des Tanneursa la poste
② chemin des Vignes⑩ rue du FourⒷ Rond-point des Vachesb la boulangerie
③ venelle du Chat⑪ rue du MoulinⒸ Rond-point du Stadec l'école
④ rue des Écoles⑫ sentier des PrésⒹ Place du Marché
⑤ passage du Marché⑬ rue des LilasⒺ Carrefour Saint-Roch
⑥ allée des Tilleuls⑭ rue du PontⒻ Coin du Lavoir
⑦ rue du Puits⑮ rue BasseⒼ Place aux Herbes
⑧ rue de l'ÉgliseⒽ Carrefour des Tilleuls
Ⓘ Carrefour du Lavoir
Ⓙ Carrefour du Moulin
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?

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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

123456789101112131415abcABCDEFGHIJN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGHIJ
Nombre de rues2442422334
Paritépairpairpairpairpairpairpairimpairimpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 30 = 2 × 15, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : H, I — il y en a 2.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en I, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le départ — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'une seule arrivée : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.
3.
Oui. Deux carrefours sont impairs, H et I, et la poste est justement sur l'un des deux (I). Il part donc de la poste et termine en H, l'autre carrefour impair.
Voici une tournée possible :
  1. Il part de Carrefour du Lavoir (I), prend la rue du Moulin ⑪ vers le nord et atteint Coin du Lavoir (F).
  2. Il tourne à gauche dans la rue du Puits ⑦, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point du Stade (C).
  3. Il tourne à droite dans le chemin des Vignes ②, vers le nord-est, jusqu'à Place des Tanneurs (A).
  4. Il tourne à gauche dans la rue Verte ①, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point des Vaches (B).
  5. Il tourne à gauche dans la venelle du Chat ③, vers l'est, jusqu'à Rond-point du Stade (C).
  6. Il tourne à droite dans l'allée des Tilleuls ⑥, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (E).
  7. Il tourne à droite dans le passage du Marché ⑤, vers le nord, jusqu'à Rond-point des Vaches (B).
  8. Il tourne à gauche dans la rue des Écoles ④, vers le sud-ouest, jusqu'à Place du Marché (D).
  9. Il tourne à gauche dans la rue de l'Église ⑧, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (H).
  10. Il tourne à gauche dans la rue Neuve ⑨, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (E).
  11. Il tourne à droite dans la rue du Four ⑩, vers le sud, jusqu'à Carrefour du Moulin (J).
  12. Il prend dans la rue des Lilas ⑬, vers le nord, jusqu'à Place aux Herbes (G).
  13. Il tourne à droite dans le sentier des Prés ⑫, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour du Lavoir (I).
  14. Il tourne à droite dans la rue Basse ⑮, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour du Moulin (J).
  15. Il tourne à droite dans la rue du Pont ⑭, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (H).
4.
C'était déjà possible. Notons seulement que la poste devait être en H ou en I : ailleurs, la tournée n'aurait pas pu commencer.

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