site2wouf.fr : La tournée du jour

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Fiche n°
mardi 7 avril 2026

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
1234567891011121314151617abcdS0S1S2S3S4S5S6S7S8S9S10N
Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① rue des Jardins⑩ venelle du ChatS0 Rond-point du Stadea la poste
② rue du Four⑪ rue du MoulinS1 Place des Tanneursb la boulangerie
③ allée des Peupliers⑫ chemin de RondeS2 Place aux Herbesc la bibliothèque
④ rue Verte⑬ rue PasteurS3 Carrefour des Tilleulsd le lavoir
⑤ quai aux Fleurs⑭ allée des TilleulsS4 Place du Marché
⑥ chemin Creux⑮ rue de la PosteS5 Carrefour Saint-Roch
⑦ rue du Stade⑯ rue HauteS6 Carrefour du Moulin
⑧ rue des Écoles⑰ sentier des PrésS7 Place du Vieux-Puits
⑨ rue de l'ÉgliseS8 Place de la Fontaine
S9 Carrefour du Lavoir
S10 Coin du Lavoir
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?

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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

1234567891011121314151617abcdS0S1S2S3S4S5S6S7S8S9S10N
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourS0S1S2S3S4S5S6S7S8S9S10
Nombre de rues32262362242
Paritéimpairpairpairpairpairimpairpairpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 34 = 2 × 17, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : S0, S5 — il y en a 2.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en S6, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le départ — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'une seule arrivée : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.
3.
Non. Deux carrefours sont impairs, S0 et S5 : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.
Or la poste est en S6, où aboutit un nombre pair de rues. Ce carrefour ne peut être que traversé, jamais servir de départ.
4.
Oui, une tournée existe — mais elle va de S0 à S5. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il ne reviendrait pas à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.
Ce parcours, en partant de S0 :
  1. Il part de Rond-point du Stade (S0), prend la rue des Jardins ① vers l'ouest et atteint Place des Tanneurs (S1).
  2. Il tourne à gauche dans la rue Verte ④, vers le sud, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (S3).
  3. Il tourne à gauche dans la rue du Four ②, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point du Stade (S0).
  4. Il tourne à droite dans l'allée des Peupliers ③, vers le sud-est, jusqu'à Place du Marché (S4).
  5. Il tourne à droite dans la venelle du Chat ⑩, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour du Moulin (S6).
  6. Il tourne à droite dans le chemin Creux ⑥, vers le nord, jusqu'à Place aux Herbes (S2).
  7. Il tourne à gauche dans le quai aux Fleurs ⑤, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (S3).
  8. Il continue tout droit dans la rue du Stade ⑦, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (S5).
  9. Il continue tout droit dans la rue du Moulin ⑪, vers le sud-ouest, jusqu'à Place du Vieux-Puits (S7).
  10. Il tourne à gauche dans la rue Haute ⑯, vers l'est, jusqu'à Carrefour du Lavoir (S9).
  11. Il tourne à gauche dans la rue de l'Église ⑨, vers le nord, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (S3).
  12. Il tourne à droite dans la rue des Écoles ⑧, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour du Moulin (S6).
  13. Il continue tout droit dans la rue Pasteur ⑬, vers le sud-est, jusqu'à Coin du Lavoir (S10).
  14. Il tourne à droite dans le sentier des Prés ⑰, vers l'ouest, jusqu'à Place de la Fontaine (S8).
  15. Il tourne à droite dans l'allée des Tilleuls ⑭, vers le nord, jusqu'à Carrefour du Moulin (S6).
  16. Il tourne à gauche dans la rue de la Poste ⑮, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour du Lavoir (S9).
  17. Il tourne à droite dans le chemin de Ronde ⑫, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (S5).

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