Les conseils de Wouf
Beaucoup d’élèves entrant au lycée ont en effet des difficultés à manipuler les fractions, les racines carrées, les puissances, à factoriser des expressions… Ces notions, apprises au collège, sont mal assimilées, et le programme des classes de lycée ne prévoit pas de les retravailler en profondeur.
Cet ouvrage propose une remédiation pas à pas. Un code simple et mnémotechnique est associé à chacune des règles et rappelé dans toutes les corrections d’exercices. Il permet de se repérer et de comprendre ses erreurs.
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve.
Euclide de Mégare (Nouveau design!)
Mon premier programme : bonjour.py
Ll'IDLE est une interface de communication avec Python, et rien de plus.
L'étape suivante consiste en la création d'un répertoire mesprog (clic droit – Nouveau dossier).
Ce répertoire contiendra tous les projets Python que nous développerons cette année. Dans un collège (sous kwartz) pour que ce dossier soit bien sauvegardé, il doit être dans votre H:/travail !
Dans ce dossier il nous faut créer un Nouveau document texte (Clic droit - Nouveau document texte) et l'appeler bonjour.py. Seule l'extension .py est importante. Avant le point on choisit en général un nom qui évoque le programme !
On peut choisir de l'appeler monprog.py, cela fonctionne mais avouez que ce nom n'est pas très parlant !
Sur ce fichier un clic droit nous offre une nouvelle option Edit with Idle
Dans ce fichier on entre :
print(" Bonjour monde !")
Remarque d'élève intéressante : Python ne répond pas les chevrons habituels (>>>)
Dans le menu supérieur RUN ! -Run module (F5)-
C'est dans l'IDLE que Python lance notre petit programme !
Une autre façon de lancer le programme est le double clic sur monprog.py. Une fenêtre noire s'ouvre et se ferme rapidement et certains yeux rapides perçoivent le "Bonjour Monde !".
Mais le programme qui est terminé après la seule instruction d'affichage se ferme vraiment très très vite !
2. Deuxième variante
Code Python traduit en HTML:print("Bonjour monde" )
mavariable=input()
Cette fois ci la fenêtre reste affichée.
La deuxième ligne de notre code attend simplement que l’utilisateur entre quelque chose au clavier que Python rangera dans la variable mavariable…
D’ailleurs, si on appuie sur ENTREE la fenêtre se ferme !
Remarque
Ouvrons à nouveau ce ficher dans l'IDLE, exécutons le (F5) et avant d'appuyer sur ENTREE écrivez simplement coucou :
A l' invite Python >>>, demandez donc à Python d'afficher le contenu de la variable mavariable -print(mavariable)- et sans surprise Python affichera coucou!
Programme : la table de N : Pseudo code
Etudions le logigramme suivant
Et le pseudo code associé:
Debut Table de N demander nombre N i=1 tq i inferieur à 10 afficher i x N i = i+1 fin_tq Fin Table de N
- Cet algorithme demande à l'utilisateur d'entrer un nombre au clavier (stocké dans la variable N)
- Il initialise la variable i avec la valeur 1
- Tant que la valeur de cette variable est inférieure strictement à 10 :
- Il affiche la valeur du produit de i et N
- Il incrémente i (la variable i contient la valeur de i + 1)
Ce petit programme affiche donc les résultats de la table de N
En Python cela donne :
Code Python traduit en HTML:n =input("Entrer un nombre :" )
i=1
while i<10:
print(i*int(n))
i=i+1
Explication du code
En première ligne la fonction input provoque une interruption dans le programme courant.
L'utilisateur est invité à entrer des caractères au clavier et à terminer avec
En deuxième ligne la valeur 1 est assignée à la variable i
En troisième ligne : En anglais " while " signifie "Tant que"... Le contenu qui suit, indenté (décallé de 4 caractères) est le contenu de cette boucle.
- print(i*int(n)) : affiche (i*int(n))
- La valeur de i+1 est assignée à la variable i
La fonction int()
L'entrée au clavier faite par l'utilisateur est une cahine de caractère : int() permet de la transformer en nombre entier
A l'execution, un essai avec le nombre 5 donne :
Votre mission
1. Dans un fichier table1.py, copiez-collez ce code, essayez le, modifiez le pour être sûrs de l'avoir bien compris.
2. Débrouillez-vous pour que vos modifications permettent d'arriver au résultat suivant :
Indice :
Dans l'idle, aussi appelé interpreteur, essayez print("2","+","5","=",2+5)
Un travail pour les plus rapides
Seul ou à plusieurs, développez un script Python (les_tables.py) qui écrive toutes les tables de multiplications de 1x1=1 à 9x9=81
Au cycle 4, les élèves s'initient à la programmation, en développant dans une démarche de projet quelques programmes simples, sans viser une connaissance experte et exhaustive d'un langage ou d'un logiciel particulier. En créant un programme, ils développent des méthodes de programmation, revisitent les notions de variables et de fonctions sous une forme différente, et s'entraînent au raisonnement.
Attendus de fin de cycle
- Écrire, mettre au point et exécuter un programme simple
Connaissances et compétences associées
Décomposer un problème en sous-problèmes afin de structurer un programme ; reconnaître des schémas. Écrire, mettre au point (tester, corriger) et exécuter un programme en réponse à un problème donné. Écrire un programme dans lequel des actions sont déclenchées par des événements extérieurs. Programmer des scripts se déroulant en parallèle. - Notions d'algorithme et de programme. - Notion de variable informatique. - Déclenchement d'une action par un événement, séquences d'instructions, boucles, instructions conditionnelles.
Exemples de situations, d'activités et de ressources pour l'élève
Jeux dans un labyrinthe, jeu de Pong, bataille navale, jeu de nim, tic tac toe. Réalisation de figure à l'aide d'un logiciel de programmation pour consolider les notions de longueur et d'angle. Initiation au chiffrement (Morse, chiffre de César, code ASCII...). Construction de tables de conjugaison, de pluriels, jeu du cadavre exquis... Calculs simples de calendrier. Calculs de répertoire (recherche, recherche inversée...). Calculs de fréquences d'apparition de chaque lettre dans un texte pour distinguer sa langue d'origine : français, anglais, italien, etc.
Repères de progressivité:
En 5e, les élèves s'initient à la programmation événementielle. Progressivement, ils développent de nouvelles compétences, en programmant des actions en parallèle, en utilisant la notion de variable informatique, en découvrant les boucles et les instructions conditionnelles qui complètent les structures de contrôle liées aux événements.
- python.org Le site officiel, pour télécharger Python !
- Apprenez à programmer en Python avec Openclassrooms
- Un programme Python pour publier du code Python sur une page web
- logigramme_svg, utilitaire de transcription de pseudo code en logigramme
- Wikibooks : Le module Turtle
- A la découverte de Turtle sur zestedesavoir.com
- snakify : La boucle for
- ARCHIVES
Travaux d'élèves :
La page dédiée
Robot Blue-Bot
Blue-Bot est un robot autonome spécialement conçu pour une utilisation scolaire. Le robot : 125,00 €Pack 6 robots + station d'accueil : 759,00 €
NEWS
- Page : https://site2wouf.fr/algorithme2022-2023_s2.php
- Catégorie : Non définie
Ce jeu est-il équitable ? Probabilité et arithmétique.
J'ai proposé à mes élèves de troisième, dans le devoir 12 de cette année scolaire (2024-2025) l’exercice suivant :
Exercice 2 (L’ utilisation d’un tableur est recommandée)
On donne le jeu suivant :
« Chacun des deux joueurs tire au hasard un nombre entier entre 1 et 100. Si les deux nombres
sont premiers entre eux, c’est le joueur A qui gagne, sinon, c’est le joueur B qui gagne. »
Le jeu est-il équitable ?
Mes objectifs pour cet exercice étaient nombreux :
- Travail sur des compétences arithmétiques (nombres premiers entre eux.)
- Travail sur des compétences probabilistes ( Dans une situation d'équiprobabilité)
- Travail sur des compétences algorithmiques (Tableur,Scratch, Python...)
- travail sur des compétences de "débrouillardise" (Recherche internet, IA)
On dit que deux nombres a et b sont premiers entre eux lorsque leur plus grand diviseur commun est égal à 1.
Erreurs et idées fausses.
L'erreur la plus fréquente dans les copies corrigées est assez classique : beaucoup d'élèves confondent "nombres premiers" (des nombres divisibles uniquement par 1 et eux-mêmes) et "nombres premiers entre eux" (voir la définition dans l'encadré ci-dessus).
Bien évidemment, deux nombres premiers sont toujours premiers entre eux, mais la réciproque est fausse : deux nombres peuvent être premiers entre eux sans être premiers.
Par exemple, 24 et 35 ne sont pas premiers (24 = 2 × 2 × 2 × 3 et 35 = 5 × 7), mais leur PGCD est 1, donc ils sont premiers entre eux.
Une erreur m'a interpellé :
Plusieurs élèves ont affirmé que le joueur A était avantagé parce que le nombre 1 est "premier avec tous les autres". L'intuition n'est pas totalement fausse, mais la formulation manque de rigueur, et surtout, elle ne suffit pas à conclure sur l’équité du jeu.
Il est vrai que le PGCD de 1 et n’importe quel autre nombre est toujours 1, donc si l’un des deux joueurs tire le nombre 1, le couple sera automatiquement premier entre eux, et A gagnera. Cela ajoute effectivement des cas favorables à A. Mais cela ne veut pas dire pour autant que le jeu est inéquitable uniquement à cause de ce cas particulier.
En réalité, pour savoir si le jeu est équitable, il faut compter précisément le nombre total de paires (a, b) avec a et b choisis entre 1 et 100, et déterminer dans combien de ces cas le PGCD(a, b) = 1. Ce n’est qu’en calculant la proportion de couples premiers entre eux qu’on peut trancher.
L’ utilisation d’un tableur est recommandée
C'est un travail conséquent qui nécessite des connaissance sur le tableur :
Remplir automatiquement des plages de cellules
(#128073#) Utiliser la poignée de recopie pour générer les nombres de 1 à 100 en ligne ou en colonne.
✅ Compétence de base pour structurer les données.
Créer un tableau à double entrée
(#128073#) Générer toutes les paires possibles (a, b) avec 1 ≤ a ≤ 100 et 1 ≤ b ≤ 100.
✅ Permet de représenter toutes les situations possibles du jeu.
Utiliser la fonction PGCD() ou GCD()
(#128073#) Pour chaque couple (a, b), calculer le PGCD.
✅ Fonction centrale pour savoir si les deux nombres sont premiers entre eux (PGCD = 1).
Utiliser une fonction conditionnelle (SI, IF)
(#128073#) Par exemple : =SI(PGCD(A1;B1)=1;1;0) pour compter les cas favorables à A.
✅ Utile pour automatiser le décompte des cas gagnants.
Compter avec NB.SI() ou SOMME()
(#128073#) Calculer le nombre total de cas favorables à A, et à B.
✅ Nécessaire pour comparer les proportions et juger de l’équité.
Calculer une proportion ou un pourcentage
(#128073#) Par exemple : =Nombre_de_cas_pour_A / Total_des_cas
✅ Permet d’estimer la probabilité de victoire de A.
Mise en forme conditionnelle (facultative)
(#128073#) Colorer en vert les cellules où A gagne, en rouge celles où B gagne.
✅ Offre une lecture visuelle intuitive des résultats.
Créer un graphique (facultatif)
(#128073#) Diagramme en secteurs ou histogramme pour visualiser les parts de victoire.
✅ Favorise la compréhension des résultats par l’élève.
Ma correction via Google sheets :
https://docs.google.com/spreadsheets/d/1xtw31iyetEezuk22H38nG_FMAwc1xv42RtPDuKV-kU4/edit?usp=sharing
De la mauvaise utilisation des IA
En effet si on livre l'exercice à ChatGPT, celui-ci nous répond :
Ce jeu n’est pas équitable.
Deux nombres entiers tirés au hasard entre 1 et 100 sont premiers entre eux s’ils n’ont pas de diviseur commun autre que 1, c’est-à-dire si leur PGCD vaut 1.
Il est connu en théorie des nombres que la probabilité que deux entiers choisis au hasard soient premiers entre eux est d’environ :
6 / π² ≈ 0,6079, soit 60,8 %.
Ainsi :
- Le joueur A gagne avec une probabilité d’environ 60,8 %.
- Le joueur B gagne avec une probabilité d’environ 39,2 %.
Même si ici les nombres sont limités de 1 à 100, cette probabilité reste proche de cette valeur. Le joueur A est donc avantagé.
Conclusion : le jeu n’est pas équitable.
Cette probabilité est issue d’un raisonnement en théorie des nombres et fait intervenir la fonction zêta de Riemann. La démonstration fait appel à :
- la densité des couples premiers entre eux (Théorème de Cesàro) parmi les entiers,
- la multiplicativité de la fonction indicatrice d’Euler,
- La série de Dirichlet.
La démonstration complète est un beau résultat de mathématiques pures, que l’on rencontre typiquement en licence ou début de master en mathématiques. Elle mêle analyse et arithmétique.
On est donc loin des attendus de troisième !
De la bonne utilisation des IA
Partager une passion est un privilège. Je développe en Python depuis Python 1.0 dans les années 90 et j'évoque ce langage souvent en classe. Par l’intermédiaire du bac à sable Python disponible sur le site2wouf.fr je montre qu'on peut, avec l'aide de Python et éventuellement d'une IA :
- s'amuser
- gagner du temps
Ainsi quand on a évoqué les algorithmes de recherche du pgcd, j'ai donné cette fonction :
def pgcd(a, b):
# Échange si nécessaire pour que a ≥ b
if a < b:
a, b = b, a
# Algorithme d'Euclide
while b:
a, b = b, a % b
return a
N'hésitez pas à copier-coller dans le bac à sable !
Alors pourquoi ne pas simuler le jeu de l'exercice en utilisant cette fonction ?
from random import *
nb_max=100
score1=0
score2=0
def pgcd(a, b):
# Échange si nécessaire pour que a ≥ b
if a < b:
a, b = b, a
# Algorithme d'Euclide
while b:
a, b = b, a % b
return a
#-----------------------------------------------------
def jouer():
#les scores des joueurs sont des variables globales:
global score1,score2
j1,j2=randint(1,nb_max),randint(1,nb_max)
print("joueur 1 :",j1," joueur 2 :",j2)
if pgcd(j1,j2)==1:
score1+=1
else:
score2+=1
#---------------------------------------------------
for i in range(10): #on simule 10 parties
jouer()
if score1<score2:
print("Le joueur 2 a gagné !")
elif score1==score2:
print("Egalité !")
else:
print("Le joueur 1 a gagné !")
N'hésitez pas à copier-coller dans le bac à sable !
En répétant plusieurs fois l'exécution du script on a l'intuition que le joueur A gagne plus souvent que le joueur B. Mais ce n'est qu'une intuition.
Version finalisée
Plus besoin de hasard, on va tester tous les couples (sans rien afficher, il y en a 100x100=10 000) et livrer les résultats au sortir de la boucle :
score1=0
score2=0
def pgcd(a, b):
# Échange si nécessaire pour que a ≥ b
if a < b:
a, b = b, a
# Algorithme d'Euclide
while b:
a, b = b, a % b
return a
#-----------------------------------------------------
def jouer(j1,j2):
#les scores des joueurs sont des variables globales:
global score1,score2
if pgcd(j1,j2)==1:
score1+=1
else:
score2+=1
#---------------------------------------------------
for x in range(100):
for y in range(100): #x et y varient entre 0 et 99
jouer(x+1,y+1) #c'est pourquoi on ajoute 1
print("Les scores :",score1,score2)
print(score1/100,"% - ",score2/100,"%")
if score1<score2:
print("Le joueur 2 a plus de chance de gagner !")
elif score1==score2:
print("Le jeu est équitable")
else:
print("Le joueur 1 plus de chance de gagner !")
N'hésitez pas à copier-coller dans le bac à sable !
Nous avons le résultat en une fraction de seconde !
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