site2wouf.fr : La tournée du jour

Le premier homme qui est mort a du être drôlement surpris.

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Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
123456789101112131415161718192021222324abcABCDEFGHJKLMPQRN
Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① sentier des Prés⑬ rue du PuitsⒶ Fontaine Notre-Damea la poste
② rue du Pont⑭ rue des LilasⒷ Place du Vieux-Puitsb la pharmacie
③ avenue de la Gare⑮ rue BasseⒸ Rond-point du Stadec le gymnase
④ rue du Moulin⑯ rue des JardinsⒹ Rond-point de la Gare
⑤ rue du Stade⑰ rue HauteⒺ Rond-point des Vaches
⑥ chemin Creux⑱ boulevard du ParcⒻ Place du Marché
⑦ rue de l'Église⑲ allée des TilleulsⒼ Carrefour de la Mairie
⑧ rue Neuve⑳ rue de la MairieⒽ Place de l'Église
⑨ venelle du Chat㉑ passage du MarchéⒿ Carrefour du Lavoir
⑩ quai aux Fleurs㉒ chemin de RondeⓀ Place de la Fontaine
⑪ rue Pasteur㉓ impasse du Vieux-FourⓁ Carrefour du Moulin
⑫ chemin des Vignes㉔ rue des ÉcolesⓂ Placette des Ormes
Ⓟ Place aux Herbes
Ⓠ Place des Tanneurs
Ⓡ Place Sainte-Croix
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

123456789101112131415161718192021222324abcABCDEFGHJKLMPQRN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGHJKLMPQR
Nombre de rues225642626242122
Paritépairpairimpairpairpairpairpairpairpairpairpairpairimpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 48 = 2 × 24, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : C, P — il y en a 2.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en G, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le départ — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'une seule arrivée : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.
3.
Non. Deux carrefours sont impairs, C et P : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.
Or la poste est en G, où aboutit un nombre pair de rues. Ce carrefour ne peut être que traversé, jamais servir de départ.
4.
Oui, une tournée existe — mais elle va de C à P. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il ne reviendrait pas à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.
Ce parcours, en partant de C :
  1. Il part de Rond-point du Stade (C), prend le sentier des Prés ① vers l'est et atteint Fontaine Notre-Dame (A).
  2. Il tourne à droite dans la rue du Pont ②, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point de la Gare (D).
  3. Il tourne à droite dans la rue du Stade ⑤, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point du Stade (C).
  4. Il tourne à gauche dans l'avenue de la Gare ③, vers l'ouest, jusqu'à Place du Vieux-Puits (B).
  5. Il tourne à gauche dans la rue du Moulin ④, vers le sud, jusqu'à Carrefour de la Mairie (G).
  6. Il tourne à gauche dans la rue de l'Église ⑦, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point du Stade (C).
  7. Il tourne à droite dans le chemin Creux ⑥, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point des Vaches (E).
  8. Il tourne à gauche dans la rue Neuve ⑧, vers l'est, jusqu'à Rond-point de la Gare (D).
  9. Il continue tout droit dans la venelle du Chat ⑨, vers l'est, jusqu'à Place de l'Église (H).
  10. Il tourne à droite dans le boulevard du Parc ⑱, vers le sud, jusqu'à Placette des Ormes (M).
  11. Il tourne à droite dans la rue Pasteur ⑪, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point de la Gare (D).
  12. Il tourne à gauche dans le quai aux Fleurs ⑩, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour du Lavoir (J).
  13. Il tourne à droite dans la rue du Puits ⑬, vers le nord, jusqu'à Rond-point des Vaches (E).
  14. Il tourne à gauche dans le chemin des Vignes ⑫, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour de la Mairie (G).
  15. Il continue tout droit dans la rue des Lilas ⑭, vers l'ouest, jusqu'à Place du Marché (F).
  16. Il tourne à gauche dans la rue Basse ⑮, vers le sud, jusqu'à Carrefour du Moulin (L).
  17. Il tourne à gauche dans la rue Haute ⑰, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour de la Mairie (G).
  18. Il tourne à droite dans la rue des Jardins ⑯, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour du Lavoir (J).
  19. Il tourne à gauche dans l'allée des Tilleuls ⑲, vers l'est, jusqu'à Place de la Fontaine (K).
  20. Il tourne à droite dans le chemin de Ronde ㉒, vers le sud, jusqu'à Place des Tanneurs (Q).
  21. Il tourne à droite dans la rue de la Mairie ⑳, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour du Lavoir (J).
  22. Il tourne à gauche dans le passage du Marché ㉑, vers le sud-ouest, jusqu'à Place Sainte-Croix (R).
  23. Il tourne à droite dans la rue des Écoles ㉔, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour du Moulin (L).
  24. Il prend dans l'impasse du Vieux-Four ㉓, vers l'est, jusqu'à Place aux Herbes (P).
À remarquer. Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.

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