site2wouf.fr : La tournée du jour

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Fiche n°
samedi 15 août 2026

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
12345678910111213141516171819202122abcS0S1S2S3S4S5S6S7S8S9S10S11S12N
Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① rue Verte⑫ rue des LilasS0 Carrefour du Lavoira la poste
② rue Pasteur⑬ rue du MoulinS1 Place du Vieux-Puitsb l'école
③ venelle du Chat⑭ chemin CreuxS2 Place aux Herbesc la salle des fêtes
④ rue Neuve⑮ rue du PuitsS3 Rond-point de la Gare
⑤ boulevard du Parc⑯ rue de la PosteS4 Carrefour Saint-Roch
⑥ chemin du Lavoir⑰ rue des ÉcolesS5 Rond-point de la Poste
⑦ sentier des Prés⑱ rue du FourS6 Place de l'Église
⑧ avenue de la Gare⑲ chemin des VignesS7 Carrefour de l'Hôpital
⑨ allée des Peupliers⑳ chemin de RondeS8 Carrefour du Moulin
⑩ allée des Tilleuls21 rue HauteS9 Rond-point du Stade
⑪ impasse des Roses22 quai aux FleursS10 Place des Tanneurs
S11 Place du Marché
S12 Place de la Fontaine
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?

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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

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1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourS0S1S2S3S4S5S6S7S8S9S10S11S12
Nombre de rues4224462465212
Paritépairpairpairpairpairpairpairpairpairimpairpairimpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 44 = 2 × 22, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : S9, S11 — il y en a 2.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en S3, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le départ — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'une seule arrivée : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.
3.
Non. Deux carrefours sont impairs, S9 et S11 : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.
Or la poste est en S3, où aboutit un nombre pair de rues. Ce carrefour ne peut être que traversé, jamais servir de départ.
4.
Oui, une tournée existe — mais elle va de S9 à S11. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il ne reviendrait pas à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.
Ce parcours, en partant de S9 :
  1. Il part de Rond-point du Stade (S9), prend la rue de la Poste ⑯ vers le nord et atteint Place de l'Église (S6).
  2. Il tourne à gauche dans la rue du Puits ⑮, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour du Moulin (S8).
  3. Il tourne à droite dans l'allée des Tilleuls ⑩, vers le nord, jusqu'à Rond-point de la Gare (S3).
  4. Il continue tout droit dans la rue Pasteur ②, vers le nord, jusqu'à Carrefour du Lavoir (S0).
  5. Il tourne à droite dans la rue Verte ①, vers l'est, jusqu'à Place du Vieux-Puits (S1).
  6. Il tourne à droite dans le boulevard du Parc ⑤, vers le sud, jusqu'à Rond-point de la Poste (S5).
  7. Il tourne à droite dans la rue Neuve ④, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour du Lavoir (S0).
  8. Il tourne à gauche dans la venelle du Chat ③, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (S4).
  9. Il tourne à gauche dans l'avenue de la Gare ⑧, vers l'est, jusqu'à Rond-point de la Gare (S3).
  10. Il tourne à droite dans l'allée des Peupliers ⑨, vers l'est, jusqu'à Rond-point de la Poste (S5).
  11. Il tourne à gauche dans le chemin du Lavoir ⑥, vers le nord-est, jusqu'à Place aux Herbes (S2).
  12. Il prend dans le sentier des Prés ⑦, vers le sud, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (S7).
  13. Il tourne à droite dans la rue du Moulin ⑬, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point de la Poste (S5).
  14. Il tourne à gauche dans le chemin Creux ⑭, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour du Moulin (S8).
  15. Il tourne à gauche dans le chemin des Vignes ⑲, vers le sud, jusqu'à Place des Tanneurs (S10).
  16. Il tourne à gauche dans la rue Haute 21, vers l'est, jusqu'à Rond-point du Stade (S9).
  17. Il tourne à gauche dans la rue du Four ⑱, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (S7).
  18. Il prend dans la rue des Écoles ⑰, vers le sud, jusqu'à Place de la Fontaine (S12).
  19. Il tourne à droite dans le quai aux Fleurs 22, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point du Stade (S9).
  20. Il tourne à droite dans le chemin de Ronde ⑳, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour du Moulin (S8).
  21. Il continue tout droit dans la rue des Lilas ⑫, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (S4).
  22. Il tourne à gauche dans l'impasse des Roses ⑪, vers le sud, jusqu'à Place du Marché (S11).
À remarquer. Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.

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