site2wouf.fr : La tournée du jour

Il faut que genèse se passe.

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Fiche n°
mercredi 23 septembre 2026

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
123456789101112131415161718192021abcdeS0S1S2S3S4S5S6S7S8S9S10S11S12N
Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① rue des Jardins⑫ chemin CreuxS0 Fontaine Notre-Damea la poste
② allée des Tilleuls⑬ rue VerteS1 Placette des Ormesb la pharmacie
③ rue Neuve⑭ boulevard du ParcS2 Place du Vieux-Puitsc le marché couvert
④ rue Haute⑮ avenue de la GareS3 Place Sainte-Croixd le lavoir
⑤ chemin des Vignes⑯ quai aux FleursS4 Carrefour du Lavoire la gendarmerie
⑥ passage du Marché⑰ venelle du ChatS5 Rond-point des Vaches
⑦ rue du Puits⑱ rue des LilasS6 Carrefour de la Mairie
⑧ rue du Stade⑲ rue des ÉcolesS7 Rond-point de la Gare
⑨ allée des Peupliers⑳ rue de l'ÉgliseS8 Rond-point du Stade
⑩ rue de la Mairie21 chemin du LavoirS9 Carrefour des Tilleuls
⑪ chemin de RondeS10 Place aux Herbes
S11 Place de la Fontaine
S12 Carrefour de l'Hôpital
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?

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La tournée du facteur — Correction

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1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourS0S1S2S3S4S5S6S7S8S9S10S11S12
Nombre de rues2222644436223
Paritépairpairpairpairpairpairpairpairimpairpairpairpairimpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 42 = 2 × 21, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : S8, S12 — il y en a 2.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en S4, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le départ — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'une seule arrivée : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.
3.
Non. Deux carrefours sont impairs, S8 et S12 : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.
Or la poste est en S4, où aboutit un nombre pair de rues. Ce carrefour ne peut être que traversé, jamais servir de départ.
4.
Oui, une tournée existe — mais elle va de S8 à S12. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il ne reviendrait pas à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.
Ce parcours, en partant de S8 :
  1. Il part de Rond-point du Stade (S8), prend le chemin de Ronde ⑪ vers le nord et atteint Carrefour du Lavoir (S4).
  2. Il tourne à gauche dans la rue des Jardins ①, vers le nord-ouest, jusqu'à Fontaine Notre-Dame (S0).
  3. Il tourne à gauche dans l'allée des Tilleuls ②, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point des Vaches (S5).
  4. Il tourne à droite dans la rue Neuve ③, vers le nord-ouest, jusqu'à Placette des Ormes (S1).
  5. Il prend dans la rue Haute ④, vers le sud, jusqu'à Rond-point de la Gare (S7).
  6. Il tourne à gauche dans la rue Verte ⑬, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point des Vaches (S5).
  7. Il tourne à droite dans le boulevard du Parc ⑭, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (S9).
  8. Il tourne à gauche dans l'allée des Peupliers ⑨, vers le nord, jusqu'à Place Sainte-Croix (S3).
  9. Il tourne à droite dans la rue du Stade ⑧, vers l'est, jusqu'à Carrefour du Lavoir (S4).
  10. Il continue tout droit dans le passage du Marché ⑥, vers l'est, jusqu'à Place du Vieux-Puits (S2).
  11. Il tourne à droite dans la rue du Puits ⑦, vers le sud, jusqu'à Carrefour de la Mairie (S6).
  12. Il tourne à droite dans l'avenue de la Gare ⑮, vers le sud-ouest, jusqu'à Place de la Fontaine (S11).
  13. Il tourne à droite dans la rue des Écoles ⑲, vers le nord, jusqu'à Rond-point du Stade (S8).
  14. Il tourne à droite dans le quai aux Fleurs ⑯, vers l'est, jusqu'à Carrefour de la Mairie (S6).
  15. Il tourne à gauche dans la rue de la Mairie ⑩, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour du Lavoir (S4).
  16. Il tourne à gauche dans le chemin Creux ⑫, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (S9).
  17. Il tourne à droite dans la rue des Lilas ⑱, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point de la Gare (S7).
  18. Il tourne à gauche dans la venelle du Chat ⑰, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (S12).
  19. Il tourne à gauche dans le chemin des Vignes ⑤, vers l'est, jusqu'à Place aux Herbes (S10).
  20. Il tourne à gauche dans la rue de l'Église ⑳, vers le nord, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (S9).
  21. Il tourne à gauche dans le chemin du Lavoir 21, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (S12).

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