site2wouf.fr : La tournée du jour

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Fiche n°

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
123456789101112131415161718192021abcdeABCDEFGHJKLMPN
Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① rue des Jardins⑫ chemin CreuxⒶ Fontaine Notre-Damea la poste
② allée des Tilleuls⑬ rue VerteⒷ Placette des Ormesb la pharmacie
③ rue Neuve⑭ boulevard du ParcⒸ Place du Vieux-Puitsc le marché couvert
④ rue Haute⑮ avenue de la GareⒹ Place Sainte-Croixd le lavoir
⑤ chemin des Vignes⑯ quai aux FleursⒺ Carrefour du Lavoire la gendarmerie
⑥ passage du Marché⑰ venelle du ChatⒻ Rond-point des Vaches
⑦ rue du Puits⑱ rue des LilasⒼ Carrefour de la Mairie
⑧ rue du Stade⑲ rue des ÉcolesⒽ Rond-point de la Gare
⑨ allée des Peupliers⑳ rue de l'ÉgliseⒿ Rond-point du Stade
⑩ rue de la Mairie㉑ chemin du LavoirⓀ Carrefour des Tilleuls
⑪ chemin de RondeⓁ Place aux Herbes
Ⓜ Place de la Fontaine
Ⓟ Carrefour de l'Hôpital
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

123456789101112131415161718192021abcdeABCDEFGHJKLMPN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGHJKLMP
Nombre de rues2222644436223
Paritépairpairpairpairpairpairpairpairimpairpairpairpairimpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 42 = 2 × 21, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : J, P — il y en a 2.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en E, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le départ — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'une seule arrivée : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.
3.
Non. Deux carrefours sont impairs, J et P : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.
Or la poste est en E, où aboutit un nombre pair de rues. Ce carrefour ne peut être que traversé, jamais servir de départ.
4.
Oui, une tournée existe — mais elle va de J à P. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il ne reviendrait pas à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.
Ce parcours, en partant de J :
  1. Il part de Rond-point du Stade (J), prend la rue de la Mairie ⑩ vers le nord et atteint Carrefour du Lavoir (E).
  2. Il continue tout droit dans la rue des Jardins ①, vers le nord-ouest, jusqu'à Fontaine Notre-Dame (A).
  3. Il tourne à gauche dans l'allée des Tilleuls ②, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point des Vaches (F).
  4. Il tourne à droite dans la rue Neuve ③, vers le nord-ouest, jusqu'à Placette des Ormes (B).
  5. Il prend dans la rue Haute ④, vers le sud, jusqu'à Rond-point de la Gare (H).
  6. Il tourne à gauche dans le chemin Creux ⑫, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point des Vaches (F).
  7. Il tourne à droite dans la rue Verte ⑬, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (K).
  8. Il tourne à gauche dans la rue du Stade ⑧, vers le nord, jusqu'à Place Sainte-Croix (D).
  9. Il tourne à droite dans la rue du Puits ⑦, vers l'est, jusqu'à Carrefour du Lavoir (E).
  10. Il continue tout droit dans le chemin des Vignes ⑤, vers l'est, jusqu'à Place du Vieux-Puits (C).
  11. Il tourne à droite dans le passage du Marché ⑥, vers le sud, jusqu'à Carrefour de la Mairie (G).
  12. Il tourne à droite dans le boulevard du Parc ⑭, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point du Stade (J).
  13. Il tourne à gauche dans la rue des Lilas ⑱, vers le sud, jusqu'à Place de la Fontaine (M).
  14. Il prend dans l'avenue de la Gare ⑮, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour de la Mairie (G).
  15. Il tourne à gauche dans l'allée des Peupliers ⑨, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour du Lavoir (E).
  16. Il tourne à gauche dans le chemin de Ronde ⑪, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (K).
  17. Il tourne à droite dans le quai aux Fleurs ⑯, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point de la Gare (H).
  18. Il tourne à gauche dans la venelle du Chat ⑰, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (P).
  19. Il tourne à gauche dans la rue de l'Église ⑳, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (K).
  20. Il tourne à droite dans la rue des Écoles ⑲, vers le sud, jusqu'à Place aux Herbes (L).
  21. Il tourne à droite dans le chemin du Lavoir ㉑, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (P).

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