site2wouf.fr : La tournée du jour

Le vrai et le faux sont des attributs du langage, non des choses. Et là où il n'y a pas de langage, il n'y a ni vérité, ni fausseté.

Thomas Hobbes

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Fiche n°
jeudi 24 septembre 2026

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
123456789101112131415161718192021222324abcS0S1S2S3S4S5S6S7S8S9S10S11S12S13S14N
Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① rue du Puits⑬ rue de la MairieS0 Carrefour des Tilleulsa la poste
② chemin des Vignes⑭ venelle du ChatS1 Place des Tanneursb la bibliothèque
③ quai aux Fleurs⑮ allée des TilleulsS2 Place de la Fontainec la boulangerie
④ rue Pasteur⑯ rue des ÉcolesS3 Place de l'Église
⑤ rue Verte⑰ rue NeuveS4 Rond-point du Stade
⑥ rue des Jardins⑱ rue de l'ÉgliseS5 Carrefour du Lavoir
⑦ impasse du Puits⑲ chemin CreuxS6 Carrefour de l'Hôpital
⑧ rue Basse⑳ rue du StadeS7 Carrefour de la Mairie
⑨ rue Haute21 rue du MoulinS8 Carrefour des Quatre-Chemins
⑩ rue des Lilas22 chemin de RondeS9 Coin du Lavoir
⑪ passage du Marché23 rue de la PosteS10 Rond-point de la Poste
⑫ chemin du Lavoir24 rue du FourS11 Place du Marché
S12 Rond-point des Vaches
S13 Place Sainte-Croix
S14 Fontaine Notre-Dame
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?

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La tournée du facteur — Correction

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1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourS0S1S2S3S4S5S6S7S8S9S10S11S12S13S14
Nombre de rues422264544242421
Paritépairpairpairpairpairpairimpairpairpairpairpairpairpairpairimpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 48 = 2 × 24, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : S6, S14 — il y en a 2.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en S6, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le départ — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'une seule arrivée : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.
3.
Oui. Deux carrefours sont impairs, S6 et S14, et la poste est justement sur l'un des deux (S6). Il part donc de la poste et termine en S14, l'autre carrefour impair.
Voici une tournée possible :
  1. Il part de Carrefour de l'Hôpital (S6), prend le passage du Marché ⑪ vers le nord et atteint Place de l'Église (S3).
  2. Il tourne à droite dans la rue des Lilas ⑩, vers l'est, jusqu'à Rond-point du Stade (S4).
  3. Il prend dans le quai aux Fleurs ③, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (S0).
  4. Il tourne à droite dans la rue du Puits ①, vers l'est, jusqu'à Place des Tanneurs (S1).
  5. Il tourne à droite dans la rue Verte ⑤, vers le sud, jusqu'à Rond-point du Stade (S4).
  6. Il continue tout droit dans le chemin du Lavoir ⑫, vers le sud, jusqu'à Rond-point de la Poste (S10).
  7. Il tourne à droite dans la rue des Jardins ⑥, vers l'ouest, jusqu'à Place du Marché (S11).
  8. Il tourne à droite dans la rue Neuve ⑰, vers le nord, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (S6).
  9. Il prend dans la rue de l'Église ⑱, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point des Vaches (S12).
  10. Il continue tout droit dans la rue Basse ⑧, vers l'ouest, jusqu'à Place Sainte-Croix (S13).
  11. Il tourne à droite dans la rue de la Poste 23, vers le nord, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (S8).
  12. Il tourne à droite dans la rue des Écoles ⑯, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour du Lavoir (S5).
  13. Il continue tout droit dans la rue Pasteur ④, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (S0).
  14. Il tourne à gauche dans le chemin des Vignes ②, vers l'ouest, jusqu'à Place de la Fontaine (S2).
  15. Il tourne à gauche dans la rue Haute ⑨, vers le sud, jusqu'à Carrefour du Lavoir (S5).
  16. Il tourne à droite dans l'allée des Tilleuls ⑮, vers le sud, jusqu'à Carrefour de la Mairie (S7).
  17. Il continue tout droit dans la rue du Stade ⑳, vers le sud, jusqu'à Rond-point des Vaches (S12).
  18. Il tourne à droite dans le chemin de Ronde 22, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (S8).
  19. Il tourne à droite dans la rue du Moulin 21, vers l'est, jusqu'à Carrefour de la Mairie (S7).
  20. Il continue tout droit dans le chemin Creux ⑲, vers l'est, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital (S6).
  21. Il tourne à gauche dans la rue de la Mairie ⑬, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point du Stade (S4).
  22. Il tourne à droite dans la venelle du Chat ⑭, vers le sud-est, jusqu'à Coin du Lavoir (S9).
  23. Il tourne à droite dans la rue du Four 24, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point de la Poste (S10).
  24. Il tourne à gauche dans l'impasse du Puits ⑦, vers l'est, jusqu'à Fontaine Notre-Dame (S14).
4.
C'était déjà possible. Notons seulement que la poste devait être en S6 ou en S14 : ailleurs, la tournée n'aurait pas pu commencer.
À remarquer. Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.

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