site2wouf.fr : La tournée du jour

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Fiche n°
lundi 21 décembre 2026

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
12345678910111213abcdeABCDEFGHIN
Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① chemin du Lavoir⑧ rue du MoulinⒶ Place du Marchéa la poste
② rue Haute⑨ chemin de RondeⒷ Place des Tanneursb la pharmacie
③ sentier des Prés⑩ rue de la PosteⒸ Place Sainte-Croixc le cimetière
④ rue du Stade⑪ venelle du ChatⒹ Place de l'Églised le gymnase
⑤ rue Neuve⑫ chemin des VignesⒺ Carrefour du Mouline la salle des fêtes
⑥ rue Verte⑬ rue du PontⒻ Rond-point du Pont
⑦ chemin CreuxⒼ Carrefour des Quatre-Chemins
Ⓗ Place de la Fontaine
Ⓘ Place du Vieux-Puits
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?

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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

12345678910111213abcdeABCDEFGHIN
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourABCDEFGHI
Nombre de rues222246422
Paritépairpairpairpairpairpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 26 = 2 × 13, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Aucun carrefour n'a un nombre impair de rues : ils sont tous pairs.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en F, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le départ — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'une seule arrivée : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.
3.
Oui. Aucun carrefour n'est impair : chacun peut être traversé de part en part. Le facteur revient même à la poste sans l'avoir cherché.
Voici une tournée possible — ce n'est pas la seule :
  1. Il part de Rond-point du Pont (F), prend la rue Haute ② vers le nord-est et atteint Place du Marché (A).
  2. Il prend dans le chemin du Lavoir ①, vers le sud, jusqu'à Carrefour du Moulin (E).
  3. Il tourne à droite dans la rue du Moulin ⑧, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point du Pont (F).
  4. Il tourne à droite dans la rue du Stade ④, vers le nord, jusqu'à Place des Tanneurs (B).
  5. Il tourne à gauche dans le sentier des Prés ③, vers le sud-ouest, jusqu'à Place Sainte-Croix (C).
  6. Il tourne à gauche dans la rue Neuve ⑤, vers le sud, jusqu'à Rond-point du Pont (F).
  7. Il tourne à droite dans la rue Verte ⑥, vers l'ouest, jusqu'à Place de l'Église (D).
  8. Il tourne à gauche dans le chemin Creux ⑦, vers le sud-est, jusqu'à Place du Vieux-Puits (I).
  9. Il tourne à gauche dans la rue du Pont ⑬, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (G).
  10. Il continue tout droit dans le chemin de Ronde ⑨, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour du Moulin (E).
  11. Il tourne à droite dans la rue de la Poste ⑩, vers le sud, jusqu'à Place de la Fontaine (H).
  12. Il tourne à droite dans le chemin des Vignes ⑫, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (G).
  13. Il continue tout droit dans la venelle du Chat ⑪, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point du Pont (F).
4.
La question ne se pose pas : la tournée est possible au départ de la poste, et elle le resterait où qu'on installe celle-ci — aucun carrefour n'est impair.

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