site2wouf.fr : La tournée du jour

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Fiche n°
vendredi 6 mars 2026

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
12345678910111213141516171819202122abcS0S1S2S3S4S5S6S7S8S9S10S11N
Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① rue Pasteur⑫ rue des JardinsS0 Place de la Fontainea la poste
② rue Verte⑬ avenue de la GareS1 Fontaine Notre-Dameb le cimetière
③ passage du Marché⑭ venelle du ChatS2 Place du Marchéc la salle des fêtes
④ rue Haute⑮ boulevard du ParcS3 Rond-point des Vaches
⑤ chemin de Ronde⑯ rue du PuitsS4 Carrefour du Lavoir
⑥ allée des Peupliers⑰ rue des ÉcolesS5 Carrefour Saint-Roch
⑦ chemin Creux⑱ chemin du LavoirS6 Carrefour des Tilleuls
⑧ sentier des Prés⑲ allée des TilleulsS7 Rond-point de la Poste
⑨ rue du Stade⑳ rue du PontS8 Rond-point de la Gare
⑩ rue Basse21 rue des LilasS9 Placette des Ormes
⑪ rue du Four22 rue de l'ÉgliseS10 Carrefour des Quatre-Chemins
S11 Carrefour du Moulin
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?

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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

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1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourS0S1S2S3S4S5S6S7S8S9S10S11
Nombre de rues222664444244
Paritépairpairpairpairpairpairpairpairpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 44 = 2 × 22, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Aucun carrefour n'a un nombre impair de rues : ils sont tous pairs.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en S11, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le départ — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'une seule arrivée : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.
3.
Oui. Aucun carrefour n'est impair : chacun peut être traversé de part en part. Le facteur revient même à la poste sans l'avoir cherché.
Voici une tournée possible — ce n'est pas la seule :
  1. Il part de Carrefour du Moulin (S11), prend le chemin de Ronde ⑤ vers l'ouest et atteint Carrefour des Quatre-Chemins (S10).
  2. Il tourne à droite dans le boulevard du Parc ⑮, vers le nord, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (S5).
  3. Il continue tout droit dans la rue du Stade ⑨, vers le nord, jusqu'à Rond-point des Vaches (S3).
  4. Il continue tout droit dans la rue Pasteur ①, vers le nord-est, jusqu'à Place de la Fontaine (S0).
  5. Il tourne à droite dans la rue Verte ②, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour du Lavoir (S4).
  6. Il tourne à gauche dans l'allée des Peupliers ⑥, vers l'est, jusqu'à Place du Marché (S2).
  7. Il tourne à droite dans le chemin Creux ⑦, vers le sud, jusqu'à Rond-point de la Poste (S7).
  8. Il prend dans la venelle du Chat ⑭, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour du Lavoir (S4).
  9. Il continue tout droit dans le sentier des Prés ⑧, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point des Vaches (S3).
  10. Il tourne à droite dans le passage du Marché ③, vers le nord-ouest, jusqu'à Fontaine Notre-Dame (S1).
  11. Il prend dans la rue Haute ④, vers le sud, jusqu'à Rond-point de la Gare (S8).
  12. Il tourne à gauche dans la rue du Four ⑪, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point des Vaches (S3).
  13. Il tourne à droite dans la rue Basse ⑩, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (S6).
  14. Il tourne à droite dans la rue du Puits ⑯, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour Saint-Roch (S5).
  15. Il continue tout droit dans la rue des Écoles ⑰, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point de la Gare (S8).
  16. Il tourne à gauche dans la rue des Lilas 21, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (S10).
  17. Il tourne à gauche dans le chemin du Lavoir ⑱, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (S6).
  18. Il continue tout droit dans l'avenue de la Gare ⑬, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour du Lavoir (S4).
  19. Il tourne à droite dans la rue des Jardins ⑫, vers le sud, jusqu'à Carrefour du Moulin (S11).
  20. Il tourne à gauche dans l'allée des Tilleuls ⑲, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point de la Poste (S7).
  21. Il tourne à droite dans la rue du Pont ⑳, vers le sud-ouest, jusqu'à Placette des Ormes (S9).
  22. Il continue tout droit dans la rue de l'Église 22, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour du Moulin (S11).
4.
La question ne se pose pas : la tournée est possible au départ de la poste, et elle le resterait où qu'on installe celle-ci — aucun carrefour n'est impair.

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