site2wouf.fr : La tournée du jour

Ce n'est pas parce qu'en hiver on dit «fermez la porte, il fait froid dehors», qu'il fait moins froid dehors quand la porte est fermée.

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Fiche n°
dimanche 8 mars 2026

Le plan du quartier et les trois questions :

La tournée du facteur

Voici le plan d'un quartier.
123456789101112131415161718abcS0S1S2S3S4S5S6S7S8S9S10S11S12N
Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.
Les ruesLes carrefoursLes bâtiments
① passage du Marché⑩ allée des TilleulsS0 Place de la Fontainea la poste
② rue de la Poste⑪ rue des ÉcolesS1 Placette des Ormesb l'école
③ impasse du Vieux-Four⑫ rue de l'ÉgliseS2 Fontaine Notre-Damec la mairie
④ rue Neuve⑬ rue VerteS3 Place du Marché
⑤ rue des Lilas⑭ allée des PeupliersS4 Carrefour des Tilleuls
⑥ avenue de la Gare⑮ chemin CreuxS5 Carrefour du Lavoir
⑦ rue du Pont⑯ venelle du ChatS6 Place du Vieux-Puits
⑧ rue Haute⑰ rue de la MairieS7 Carrefour du Moulin
⑨ boulevard du Parc⑱ impasse du PuitsS8 Coin du Lavoir
S9 Place aux Herbes
S10 Place des Tanneurs
S11 Carrefour des Quatre-Chemins
S12 Rond-point de la Poste
Légende du plan
Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.
  1. Pour chaque carrefour, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  2. Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il traverse un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre impair de rues ?
  3. Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ? Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  4. Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle malgré tout dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?

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Corrigé :

La tournée du facteur — Correction

123456789101112131415161718abcS0S1S2S3S4S5S6S7S8S9S10S11S12N
1. On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :
CarrefourS0S1S2S3S4S5S6S7S8S9S10S11S12
Nombre de rues2122642421244
Paritépairimpairpairpairpairpairpairpairpairimpairpairpairpair
Vérification : la somme de ces nombres vaut 36 = 2 × 18, car chaque rue est comptée à ses deux extrémités.
Les carrefours à nombre impair de rues sont : S1, S9 — il y en a 2.
2.
Le raisonnement clé. Quand le facteur traverse un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues deux par deux. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre pair.
Un carrefour où aboutit un nombre impair de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le départ ou l'arrivée de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».
Ici la poste est sur un carrefour, en S4, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le départ — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'une seule arrivée : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.
3.
Non. Deux carrefours sont impairs, S1 et S9 : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.
Or la poste est en S4, où aboutit un nombre pair de rues. Ce carrefour ne peut être que traversé, jamais servir de départ.
4.
Oui, une tournée existe — mais elle va de S1 à S9. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il ne reviendrait pas à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.
Ce parcours, en partant de S1 :
  1. Il part de Placette des Ormes (S1), prend l'impasse du Vieux-Four ③ vers le sud-ouest et atteint Carrefour du Lavoir (S5).
  2. Il tourne à gauche dans la rue de l'Église ⑫, vers le sud, jusqu'à Rond-point de la Poste (S12).
  3. Il tourne à gauche dans la rue Neuve ④, vers l'est, jusqu'à Place des Tanneurs (S10).
  4. Il tourne à gauche dans le chemin Creux ⑮, vers le nord, jusqu'à Place du Vieux-Puits (S6).
  5. Il tourne à gauche dans la rue Verte ⑬, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour du Lavoir (S5).
  6. Il tourne à gauche dans l'allée des Peupliers ⑭, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour du Moulin (S7).
  7. Il tourne à droite dans la rue Haute ⑧, vers le nord, jusqu'à Place du Marché (S3).
  8. Il tourne à gauche dans la rue du Pont ⑦, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (S4).
  9. Il tourne à droite dans la rue de la Poste ②, vers le nord, jusqu'à Place de la Fontaine (S0).
  10. Il tourne à droite dans le passage du Marché ①, vers l'est, jusqu'à Fontaine Notre-Dame (S2).
  11. Il tourne à droite dans l'avenue de la Gare ⑥, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (S4).
  12. Il continue tout droit dans le boulevard du Parc ⑨, vers le sud, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (S11).
  13. Il tourne à gauche dans la rue des Lilas ⑤, vers l'est, jusqu'à Rond-point de la Poste (S12).
  14. Il tourne à gauche dans la venelle du Chat ⑯, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour du Moulin (S7).
  15. Il continue tout droit dans l'allée des Tilleuls ⑩, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour des Tilleuls (S4).
  16. Il tourne à gauche dans la rue des Écoles ⑪, vers le sud-ouest, jusqu'à Coin du Lavoir (S8).
  17. Il tourne à gauche dans la rue de la Mairie ⑰, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins (S11).
  18. Il prend dans l'impasse du Puits ⑱, vers l'ouest, jusqu'à Place aux Herbes (S9).
À remarquer. Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.

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