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Si j'avais six heures pour abattre un arbre, je passerais les quatre premières à affûter ma hache.
Anonyme, longtemps prêtée à Abraham Lincoln ( Nouveau design !)
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Encadre 809 et 135 par deux multiples consécutifs de 14.
Quel est le plus grand multiple de 22 inférieur à 219 ?
Quel est le plus petit multiple de 15 supérieur à 306 ?
12992 8330
5589 2560
Un maraîcher a récolté 48 salades et 216 bottes de carottes. Il veut préparer des paniers.
Deux phares sont visibles depuis la plage. Le phare A émet un éclat toutes
les 15 secondes, le phare B toutes les 12 secondes.
À minuit pile, les deux phares émettent un éclat en même temps.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 809 et 135 par deux multiples consécutifs de 14.
On effectue la division euclidienne de 809 par 14 :
On effectue la division euclidienne de 135 par 14 :
Quel est le plus grand multiple de 22 inférieur à 219 ?
On effectue la division euclidienne de 219 par 22 :
Quel est le plus petit multiple de 15 supérieur à 306 ?
On effectue la division euclidienne de 306 par 15 :
| 12992 | 2 | 12992 = 26 × 7 × 29 |
| 6496 | 2 | |
| 3248 | 2 | |
| 1624 | 2 | |
| 812 | 2 | |
| 406 | 2 | |
| 203 | 7 | |
| 29 | 29 | |
| 1 |
| 8330 | 2 | 8330 = 2 × 5 × 72 × 17 |
| 4165 | 5 | |
| 833 | 7 | |
| 119 | 7 | |
| 17 | 17 | |
| 1 |
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où12992 8330
=12992:14 8330:14
=928 595
5589 : { 1; 3; 9; 23; 27; 69; 81; 207; 243; 621; 1863; 5589 }
2560 : { 1; 2; 4; 5; 8; 10; 16; 20; 32; 40; 64; 80; 128; 160; 256; 320; 512; 640; 1280; 2560 }
{ 1 }
PGCD(5589;2560) = 1
Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 5589 et 2560 sont premiers entre eux.
Donc la fraction5589 2560
est irréductible.Un maraîcher a récolté 48 salades et 216 bottes de carottes. Il veut préparer des paniers.
216 = 54 × 4, mais 48 = 54 × 0 + 48 : le reste n'est pas nul, 48 n'est pas divisible par 54.
On ne peut pas constituer 54 paniers (tous les salades ne seraient pas utilisés).
48 = 3 × 16 et 216 = 3 × 72 : 48 et 216 sont tous les deux divisibles par 3.
On peut constituer 3 paniers (16 salades et 72 bottes de carottes dans chaque panier).
| 48 | 2 | 48 = 24 × 3 |
| 24 | 2 | |
| 12 | 2 | |
| 6 | 2 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
| 216 | 2 | 216 = 23 × 33 |
| 108 | 2 | |
| 54 | 2 | |
| 27 | 3 | |
| 9 | 3 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
{ 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24 }
Pour utiliser tout le stock, le nombre de paniers doit diviser à la fois 48 et 216 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de paniers est donc le PGCD de 48 et 216.
Le plus grand des diviseurs communs est 24.
On pourra constituer au maximum 24 paniers.
48 ÷ 24 = 2 et 216 ÷ 24 = 9.
Chaque panier contiendra 2 salades et 9 bottes de carottes.
Deux phares sont visibles depuis la plage. Le phare A émet un éclat toutes
les 15 secondes, le phare B toutes les 12 secondes.
À minuit pile, les deux phares émettent un éclat en même temps.
30 = 2 × 15 : c'est un multiple de 15, le phare A émet donc un éclat (son 2e depuis minuit).
30 = 12 × 2 + 6 : le reste n'est pas nul, 30 n'est pas un multiple de 12.
Le phare B n'émet pas d'éclat à cet instant.
| 15 | 3 | 15 = 3 × 5 |
| 5 | 5 | |
| 1 |
| 12 | 2 | 12 = 22 × 3 |
| 6 | 2 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
Le phare A émet un éclat aux multiples de 15 s, le phare B aux multiples de 12 s. Ils émettent ensemble aux multiples communs de 15 et 12 : la première fois, au bout du PPCM.
15 = 3 × 5 et 12 = 22 × 3
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(15;12) = 22 × 3 × 5 = 60.
Les deux phares émettront de nouveau un éclat en même temps au bout de 60 s, soit 1 min.
60 ÷ 15 = 4 et 60 ÷ 12 = 5.
Le phare A aura émis 4 éclats et le phare B 5 éclats.
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