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Deux choses sont infinies : l'univers et la bêtise humaine ; en ce qui concerne l'univers, je n'en ai pas acquis la certitude absolue.
Albert Einstein
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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 907 et 175 par deux multiples consécutifs de 14.
Quel est le plus grand multiple de 20 inférieur à 191 ?
Quel est le plus petit multiple de 27 supérieur à 631 ?
8379 14256
2088 15925
Un chocolatier a confectionné 168 truffes au café et 192 truffes à la noix de coco. Il veut les offrir dans des boîtes.
Un engrenage est composé d'une roue A de 30 dents et d'une roue B de 36 dents. Un repère rouge est placé sur chaque roue, au point de contact : c'est la position initiale.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 907 et 175 par deux multiples consécutifs de 14.
On effectue la division euclidienne de 907 par 14 :
On effectue la division euclidienne de 175 par 14 :
Quel est le plus grand multiple de 20 inférieur à 191 ?
On effectue la division euclidienne de 191 par 20 :
Quel est le plus petit multiple de 27 supérieur à 631 ?
On effectue la division euclidienne de 631 par 27 :
| 8379 | 3 | 8379 = 32 × 72 × 19 |
| 2793 | 3 | |
| 931 | 7 | |
| 133 | 7 | |
| 19 | 19 | |
| 1 |
| 14256 | 2 | 14256 = 24 × 34 × 11 |
| 7128 | 2 | |
| 3564 | 2 | |
| 1782 | 2 | |
| 891 | 3 | |
| 297 | 3 | |
| 99 | 3 | |
| 33 | 3 | |
| 11 | 11 | |
| 1 |
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où8379 14256
=8379:9 14256:9
=931 1584
2088 : { 1; 2; 3; 4; 6; 8; 9; 12; 18; 24; 29; 36; 58; 72; 87; 116; 174; 232; 261; 348; 522; 696; 1044; 2088 }
15925 : { 1; 5; 7; 13; 25; 35; 49; 65; 91; 175; 245; 325; 455; 637; 1225; 2275; 3185; 15925 }
{ 1 }
PGCD(2088;15925) = 1
Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 2088 et 15925 sont premiers entre eux.
Donc la fraction2088 15925
est irréductible.Critère de divisibilité par 3 :
Un nombre entier est divisible par 3 si (et seulement si) la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.
.
Un chocolatier a confectionné 168 truffes au café et 192 truffes à la noix de coco. Il veut les offrir dans des boîtes.
168 = 8 × 21 et 192 = 8 × 24 : 168 et 192 sont tous les deux divisibles par 8.
On peut constituer 8 boîtes (21 truffes au café et 24 truffes à la noix de coco dans chaque boîte).
192 = 16 × 12, mais 168 = 16 × 10 + 8 : le reste n'est pas nul, 168 n'est pas divisible par 16.
On ne peut pas constituer 16 boîtes (tous les truffes au café ne seraient pas utilisés).
| 192 | 2 | 192 = 26 × 3 |
| 96 | 2 | |
| 48 | 2 | |
| 24 | 2 | |
| 12 | 2 | |
| 6 | 2 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
Pour utiliser tout le stock, le nombre de boîtes doit diviser à la fois 168 et 192 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de boîtes est donc le PGCD de 168 et 192.
168 = 23 × 3 × 7 et 192 = 26 × 3
On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
PGCD(168;192) = 23 × 3 = 24.
On pourra constituer au maximum 24 boîtes.
168 ÷ 24 = 7 et 192 ÷ 24 = 8.
Chaque boîte contiendra 7 truffes au café et 8 truffes à la noix de coco.
Un engrenage est composé d'une roue A de 30 dents et d'une roue B de 36 dents. Un repère rouge est placé sur chaque roue, au point de contact : c'est la position initiale.
Il est passé 5 × 30 = 150 dents au point de contact : la roue A est revenue à sa position.
Pour la roue B : 150 = 36 × 4 + 6 : le reste n'est pas nul, 150 n'est pas un multiple de 36.
La roue B n'a pas fait un nombre entier de tours :
l'engrenage n'est pas revenu dans sa position initiale.
| 30 | 2 | 30 = 2 × 3 × 5 |
| 15 | 3 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
| 36 | 2 | 36 = 22 × 32 |
| 18 | 2 | |
| 9 | 3 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
Chaque roue revient à sa position quand le nombre de dents passées au point de contact est un multiple de son nombre de dents. L'engrenage revient donc dans sa position initiale quand ce nombre est un multiple commun de 30 et 36 : la première fois, au PPCM.
30 = 2 × 3 × 5 et 36 = 22 × 32
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(30;36) = 22 × 32 × 5 = 180.
Il passe 180 dents au point de contact, soit 180 ÷ 30 = 6 tours de la roue A.
L'engrenage retrouve sa position initiale au bout de 6 tours de la roue A.
180 ÷ 36 = 5.
La roue B aura effectué 5 tours.
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