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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 974 et 843 par deux multiples consécutifs de 6.
Quel est le plus grand multiple de 6 inférieur à 64 ?
Quel est le plus petit multiple de 18 supérieur à 243 ?
3915 13230
10143 5500
Un DJ a sélectionné 140 titres de rap et 220 titres d'électro. Il veut les répartir en playlists pour ses concerts.
Camille et Dominique s'entraînent sur deux circuits qui ont la même ligne de départ. Camille fait un tour du circuit 1 en 168 s, Dominique fait un tour du circuit 2 en 144 s.
Ils partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 974 et 843 par deux multiples consécutifs de 6.
On effectue la division euclidienne de 974 par 6 :
On effectue la division euclidienne de 843 par 6 :
Quel est le plus grand multiple de 6 inférieur à 64 ?
On effectue la division euclidienne de 64 par 6 :
Quel est le plus petit multiple de 18 supérieur à 243 ?
On effectue la division euclidienne de 243 par 18 :
| 3915 | 3 | 3915 = 33 × 5 × 29 |
| 1305 | 3 | |
| 435 | 3 | |
| 145 | 5 | |
| 29 | 29 | |
| 1 |
| 13230 | 2 | 13230 = 2 × 33 × 5 × 72 |
| 6615 | 3 | |
| 2205 | 3 | |
| 735 | 3 | |
| 245 | 5 | |
| 49 | 7 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où3915 13230
=3915:135 13230:135
=29 98
10143 : { 1; 3; 7; 9; 21; 23; 49; 63; 69; 147; 161; 207; 441; 483; 1127; 1449; 3381; 10143 }
5500 : { 1; 2; 4; 5; 10; 11; 20; 22; 25; 44; 50; 55; 100; 110; 125; 220; 250; 275; 500; 550; 1100; 1375; 2750; 5500 }
{ 1 }
PGCD(10143;5500) = 1
Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 10143 et 5500 sont premiers entre eux.
Donc la fraction10143 5500
est irréductible.Critère de divisibilité par 3 :
Un nombre entier est divisible par 3 si (et seulement si) la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.
.
Un DJ a sélectionné 140 titres de rap et 220 titres d'électro. Il veut les répartir en playlists pour ses concerts.
220 = 11 × 20, mais 140 = 11 × 12 + 8 : le reste n'est pas nul, 140 n'est pas divisible par 11.
On ne peut pas constituer 11 playlists (tous les titres de rap ne seraient pas utilisés).
140 = 10 × 14 et 220 = 10 × 22 : 140 et 220 sont tous les deux divisibles par 10.
On peut constituer 10 playlists (14 titres de rap et 22 titres d'électro dans chaque playlist).
| 140 | 2 | 140 = 22 × 5 × 7 |
| 70 | 2 | |
| 35 | 5 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
| 220 | 2 | 220 = 22 × 5 × 11 |
| 110 | 2 | |
| 55 | 5 | |
| 11 | 11 | |
| 1 |
Pour utiliser tout le stock, le nombre de playlists doit diviser à la fois 140 et 220 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de playlists est donc le PGCD de 140 et 220.
140 = 22 × 5 × 7 et 220 = 22 × 5 × 11
On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
PGCD(140;220) = 22 × 5 = 20.
On pourra constituer au maximum 20 playlists.
140 ÷ 20 = 7 et 220 ÷ 20 = 11.
Chaque playlist contiendra 7 titres de rap et 11 titres d'électro.
Camille et Dominique s'entraînent sur deux circuits qui ont la même ligne de départ. Camille fait un tour du circuit 1 en 168 s, Dominique fait un tour du circuit 2 en 144 s.
Ils partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours.
840 = 5 × 168 : Camille a fait exactement 5 tours et se trouve donc de nouveau sur la ligne de départ.
840 = 144 × 5 + 120 : le reste n'est pas nul, 840 n'est pas un multiple de 144.
Ce n'est pas le cas de Dominique, qui a fait 5 tours et 120 s.
| 168 | 2 | 168 = 23 × 3 × 7 |
| 84 | 2 | |
| 42 | 2 | |
| 21 | 3 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
| 144 | 2 | 144 = 24 × 32 |
| 72 | 2 | |
| 36 | 2 | |
| 18 | 2 | |
| 9 | 3 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
Camille passe sur la ligne de départ toutes les 168 s (aux multiples de 168), et Dominique toutes les 144 s (aux multiples de 144). Ils s'y retrouvent ensemble aux multiples communs de 168 et 144 : la première fois, au bout du PPCM de 168 et 144.
168 = 23 × 3 × 7 et 144 = 24 × 32
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(168;144) = 24 × 32 × 7 = 1008.
Ils se retrouveront ensemble sur la ligne de départ au bout de 1008 s, soit 16 min 48 s.
1008 ÷ 168 = 6 et 1008 ÷ 144 = 7.
Camille aura fait 6 tours et Dominique 7 tours.
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