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Albert Einstein
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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 232 et 334 par deux multiples consécutifs de 13.
Quel est le plus grand multiple de 15 inférieur à 174 ?
Quel est le plus petit multiple de 16 supérieur à 156 ?
2816 7047
504 248
Pour un baptême, Emma et Arthur ont acheté 220 dragées blanches et 66 dragées roses. Ils veulent préparer des ballotins.
Un engrenage est composé d'une roue A de 8 dents et d'une roue B de 12 dents. Un repère rouge est placé sur chaque roue, au point de contact : c'est la position initiale.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 232 et 334 par deux multiples consécutifs de 13.
On effectue la division euclidienne de 232 par 13 :
On effectue la division euclidienne de 334 par 13 :
Quel est le plus grand multiple de 15 inférieur à 174 ?
On effectue la division euclidienne de 174 par 15 :
Quel est le plus petit multiple de 16 supérieur à 156 ?
On effectue la division euclidienne de 156 par 16 :
| 2816 | 2 | 2816 = 28 × 11 |
| 1408 | 2 | |
| 704 | 2 | |
| 352 | 2 | |
| 176 | 2 | |
| 88 | 2 | |
| 44 | 2 | |
| 22 | 2 | |
| 11 | 11 | |
| 1 |
| 7047 | 3 | 7047 = 35 × 29 |
| 2349 | 3 | |
| 783 | 3 | |
| 261 | 3 | |
| 87 | 3 | |
| 29 | 29 | |
| 1 |
2816 7047
est irréductible.504 : { 1; 2; 3; 4; 6; 7; 8; 9; 12; 14; 18; 21; 24; 28; 36; 42; 56; 63; 72; 84; 126; 168; 252; 504 }
248 : { 1; 2; 4; 8; 31; 62; 124; 248 }
{ 1; 2; 4; 8 }
PGCD(504;248) = 8
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où504 248
=504:8 248:8
=63 31
Critère de divisibilité par 3 :
Un nombre entier est divisible par 3 si (et seulement si) la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.
.
Pour un baptême, Emma et Arthur ont acheté 220 dragées blanches et 66 dragées roses. Ils veulent préparer des ballotins.
220 = 11 × 20 et 66 = 11 × 6 : 220 et 66 sont tous les deux divisibles par 11.
On peut constituer 11 ballotins (20 dragées blanches et 6 dragées roses dans chaque ballotin).
220 = 4 × 55, mais 66 = 4 × 16 + 2 : le reste n'est pas nul, 66 n'est pas divisible par 4.
On ne peut pas constituer 4 ballotins (tous les dragées roses ne seraient pas utilisés).
| 220 | 2 | 220 = 22 × 5 × 11 |
| 110 | 2 | |
| 55 | 5 | |
| 11 | 11 | |
| 1 |
| 66 | 2 | 66 = 2 × 3 × 11 |
| 33 | 3 | |
| 11 | 11 | |
| 1 |
Pour utiliser tout le stock, le nombre de ballotins doit diviser à la fois 220 et 66 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de ballotins est donc le PGCD de 220 et 66.
220 = 22 × 5 × 11 et 66 = 2 × 3 × 11
On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
PGCD(220;66) = 2 × 11 = 22.
On pourra constituer au maximum 22 ballotins.
220 ÷ 22 = 10 et 66 ÷ 22 = 3.
Chaque ballotin contiendra 10 dragées blanches et 3 dragées roses.
Un engrenage est composé d'une roue A de 8 dents et d'une roue B de 12 dents. Un repère rouge est placé sur chaque roue, au point de contact : c'est la position initiale.
Il est passé 2 × 8 = 16 dents au point de contact : la roue A est revenue à sa position.
Pour la roue B : 16 = 12 × 1 + 4 : le reste n'est pas nul, 16 n'est pas un multiple de 12.
La roue B n'a pas fait un nombre entier de tours :
l'engrenage n'est pas revenu dans sa position initiale.
| 8 | 2 | 8 = 23 |
| 4 | 2 | |
| 2 | 2 | |
| 1 |
| 12 | 2 | 12 = 22 × 3 |
| 6 | 2 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
Chaque roue revient à sa position quand le nombre de dents passées au point de contact est un multiple de son nombre de dents. L'engrenage revient donc dans sa position initiale quand ce nombre est un multiple commun de 8 et 12 : la première fois, au PPCM.
8 = 23 et 12 = 22 × 3
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(8;12) = 23 × 3 = 24.
Il passe 24 dents au point de contact, soit 24 ÷ 8 = 3 tours de la roue A.
L'engrenage retrouve sa position initiale au bout de 3 tours de la roue A.
24 ÷ 12 = 2.
La roue B aura effectué 2 tours.
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