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Le bout du monde et le fond du jardin contiennent la même quantité de merveilles.
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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 869 et 971 par deux multiples consécutifs de 13.
Quel est le plus grand multiple de 20 inférieur à 474 ?
Quel est le plus petit multiple de 6 supérieur à 52 ?
7440 15624
12152 2925
Un pâtissier a fabriqué 195 chocolats et 117 biscuits. Avec sa production du jour, il veut remplir des boîtes.
Un engrenage est composé d'une roue A de 30 dents et d'une roue B de 12 dents. Un repère rouge est placé sur chaque roue, au point de contact : c'est la position initiale.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 869 et 971 par deux multiples consécutifs de 13.
On effectue la division euclidienne de 869 par 13 :
On effectue la division euclidienne de 971 par 13 :
Quel est le plus grand multiple de 20 inférieur à 474 ?
On effectue la division euclidienne de 474 par 20 :
Quel est le plus petit multiple de 6 supérieur à 52 ?
On effectue la division euclidienne de 52 par 6 :
| 7440 | 2 | 7440 = 24 × 3 × 5 × 31 |
| 3720 | 2 | |
| 1860 | 2 | |
| 930 | 2 | |
| 465 | 3 | |
| 155 | 5 | |
| 31 | 31 | |
| 1 |
| 15624 | 2 | 15624 = 23 × 32 × 7 × 31 |
| 7812 | 2 | |
| 3906 | 2 | |
| 1953 | 3 | |
| 651 | 3 | |
| 217 | 7 | |
| 31 | 31 | |
| 1 |
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où7440 15624
=7440:744 15624:744
=10 21
12152 : { 1; 2; 4; 7; 8; 14; 28; 31; 49; 56; 62; 98; 124; 196; 217; 248; 392; 434; 868; 1519; 1736; 3038; 6076; 12152 }
2925 : { 1; 3; 5; 9; 13; 15; 25; 39; 45; 65; 75; 117; 195; 225; 325; 585; 975; 2925 }
{ 1 }
PGCD(12152;2925) = 1
Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 12152 et 2925 sont premiers entre eux.
Donc la fraction12152 2925
est irréductible.Critère de divisibilité par 3 :
Un nombre entier est divisible par 3 si (et seulement si) la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.
.
Un pâtissier a fabriqué 195 chocolats et 117 biscuits. Avec sa production du jour, il veut remplir des boîtes.
195 = 3 × 65 et 117 = 3 × 39 : 195 et 117 sont tous les deux divisibles par 3.
On peut constituer 3 boîtes (65 chocolats et 39 biscuits dans chaque boîte).
195 = 5 × 39, mais 117 = 5 × 23 + 2 : le reste n'est pas nul, 117 n'est pas divisible par 5.
On ne peut pas constituer 5 boîtes (tous les biscuits ne seraient pas utilisés).
| 195 | 3 | 195 = 3 × 5 × 13 |
| 65 | 5 | |
| 13 | 13 | |
| 1 |
| 117 | 3 | 117 = 32 × 13 |
| 39 | 3 | |
| 13 | 13 | |
| 1 |
Pour utiliser tout le stock, le nombre de boîtes doit diviser à la fois 195 et 117 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de boîtes est donc le PGCD de 195 et 117.
195 = 3 × 5 × 13 et 117 = 32 × 13
On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
PGCD(195;117) = 3 × 13 = 39.
On pourra constituer au maximum 39 boîtes.
195 ÷ 39 = 5 et 117 ÷ 39 = 3.
Chaque boîte contiendra 5 chocolats et 3 biscuits.
Un engrenage est composé d'une roue A de 30 dents et d'une roue B de 12 dents. Un repère rouge est placé sur chaque roue, au point de contact : c'est la position initiale.
Il est passé 1 × 30 = 30 dents au point de contact : la roue A est revenue à sa position.
Pour la roue B : 30 = 12 × 2 + 6 : le reste n'est pas nul, 30 n'est pas un multiple de 12.
La roue B n'a pas fait un nombre entier de tours :
l'engrenage n'est pas revenu dans sa position initiale.
| 30 | 2 | 30 = 2 × 3 × 5 |
| 15 | 3 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
| 12 | 2 | 12 = 22 × 3 |
| 6 | 2 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
Chaque roue revient à sa position quand le nombre de dents passées au point de contact est un multiple de son nombre de dents. L'engrenage revient donc dans sa position initiale quand ce nombre est un multiple commun de 30 et 12 : la première fois, au PPCM.
30 = 2 × 3 × 5 et 12 = 22 × 3
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(30;12) = 22 × 3 × 5 = 60.
Il passe 60 dents au point de contact, soit 60 ÷ 30 = 2 tours de la roue A.
L'engrenage retrouve sa position initiale au bout de 2 tours de la roue A.
60 ÷ 12 = 5.
La roue B aura effectué 5 tours.
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