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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 767 et 627 par deux multiples consécutifs de 16.
Quel est le plus grand multiple de 24 inférieur à 413 ?
Quel est le plus petit multiple de 15 supérieur à 96 ?
4960 2376
6496 11625
Un aquaculteur élève 160 petits bénitiers et 48 grands bénitiers. Il veut les vendre en lots.
Un engrenage est composé d'une roue A de 45 dents et d'une roue B de 54 dents. Un repère rouge est placé sur chaque roue, au point de contact : c'est la position initiale.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 767 et 627 par deux multiples consécutifs de 16.
On effectue la division euclidienne de 767 par 16 :
On effectue la division euclidienne de 627 par 16 :
Quel est le plus grand multiple de 24 inférieur à 413 ?
On effectue la division euclidienne de 413 par 24 :
Quel est le plus petit multiple de 15 supérieur à 96 ?
On effectue la division euclidienne de 96 par 15 :
| 4960 | 2 | 4960 = 25 × 5 × 31 |
| 2480 | 2 | |
| 1240 | 2 | |
| 620 | 2 | |
| 310 | 2 | |
| 155 | 5 | |
| 31 | 31 | |
| 1 |
| 2376 | 2 | 2376 = 23 × 33 × 11 |
| 1188 | 2 | |
| 594 | 2 | |
| 297 | 3 | |
| 99 | 3 | |
| 33 | 3 | |
| 11 | 11 | |
| 1 |
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où4960 2376
=4960:8 2376:8
=620 297
6496 : { 1; 2; 4; 7; 8; 14; 16; 28; 29; 32; 56; 58; 112; 116; 203; 224; 232; 406; 464; 812; 928; 1624; 3248; 6496 }
11625 : { 1; 3; 5; 15; 25; 31; 75; 93; 125; 155; 375; 465; 775; 2325; 3875; 11625 }
{ 1 }
PGCD(6496;11625) = 1
Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 6496 et 11625 sont premiers entre eux.
Donc la fraction6496 11625
est irréductible.Critère de divisibilité par 3 :
Un nombre entier est divisible par 3 si (et seulement si) la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.
.
Un aquaculteur élève 160 petits bénitiers et 48 grands bénitiers. Il veut les vendre en lots.
48 = 24 × 2, mais 160 = 24 × 6 + 16 : le reste n'est pas nul, 160 n'est pas divisible par 24.
On ne peut pas constituer 24 lots (tous les petits bénitiers ne seraient pas utilisés).
| 160 | 2 | 160 = 25 × 5 |
| 80 | 2 | |
| 40 | 2 | |
| 20 | 2 | |
| 10 | 2 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
| 48 | 2 | 48 = 24 × 3 |
| 24 | 2 | |
| 12 | 2 | |
| 6 | 2 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
{ 1; 2; 4; 8; 16 }
Pour utiliser tout le stock, le nombre de lots doit diviser à la fois 160 et 48 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de lots est donc le PGCD de 160 et 48.
Le plus grand des diviseurs communs est 16.
On pourra constituer au maximum 16 lots.
160 ÷ 16 = 10 et 48 ÷ 16 = 3.
Chaque lot contiendra 10 petits bénitiers et 3 grands bénitiers.
Un engrenage est composé d'une roue A de 45 dents et d'une roue B de 54 dents. Un repère rouge est placé sur chaque roue, au point de contact : c'est la position initiale.
Il est passé 5 × 45 = 225 dents au point de contact : la roue A est revenue à sa position.
Pour la roue B : 225 = 54 × 4 + 9 : le reste n'est pas nul, 225 n'est pas un multiple de 54.
La roue B n'a pas fait un nombre entier de tours :
l'engrenage n'est pas revenu dans sa position initiale.
| 45 | 3 | 45 = 32 × 5 |
| 15 | 3 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
| 54 | 2 | 54 = 2 × 33 |
| 27 | 3 | |
| 9 | 3 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
Chaque roue revient à sa position quand le nombre de dents passées au point de contact est un multiple de son nombre de dents. L'engrenage revient donc dans sa position initiale quand ce nombre est un multiple commun de 45 et 54 : la première fois, au PPCM.
45 = 32 × 5 et 54 = 2 × 33
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(45;54) = 2 × 33 × 5 = 270.
Il passe 270 dents au point de contact, soit 270 ÷ 45 = 6 tours de la roue A.
L'engrenage retrouve sa position initiale au bout de 6 tours de la roue A.
270 ÷ 54 = 5.
La roue B aura effectué 5 tours.
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