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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 795 et 862 par deux multiples consécutifs de 17.
Quel est le plus grand multiple de 8 inférieur à 110 ?
Quel est le plus petit multiple de 7 supérieur à 97 ?
9576 1536
7047 176
Un maraîcher a cueilli 273 pommes et 234 poires. Il veut remplir des sacs pour ses clients.
Un engrenage est composé d'une roue A de 30 dents et d'une roue B de 18 dents. Un repère rouge est placé sur chaque roue, au point de contact : c'est la position initiale.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 795 et 862 par deux multiples consécutifs de 17.
On effectue la division euclidienne de 795 par 17 :
On effectue la division euclidienne de 862 par 17 :
Quel est le plus grand multiple de 8 inférieur à 110 ?
On effectue la division euclidienne de 110 par 8 :
Quel est le plus petit multiple de 7 supérieur à 97 ?
On effectue la division euclidienne de 97 par 7 :
| 9576 | 2 | 9576 = 23 × 32 × 7 × 19 |
| 4788 | 2 | |
| 2394 | 2 | |
| 1197 | 3 | |
| 399 | 3 | |
| 133 | 7 | |
| 19 | 19 | |
| 1 |
| 1536 | 2 | 1536 = 29 × 3 |
| 768 | 2 | |
| 384 | 2 | |
| 192 | 2 | |
| 96 | 2 | |
| 48 | 2 | |
| 24 | 2 | |
| 12 | 2 | |
| 6 | 2 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où9576 1536
=9576:24 1536:24
=399 64
7047 : { 1; 3; 9; 27; 29; 81; 87; 243; 261; 783; 2349; 7047 }
176 : { 1; 2; 4; 8; 11; 16; 22; 44; 88; 176 }
{ 1 }
PGCD(7047;176) = 1
Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 7047 et 176 sont premiers entre eux.
Donc la fraction7047 176
est irréductible.Critère de divisibilité par 3 :
Un nombre entier est divisible par 3 si (et seulement si) la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.
.
Un maraîcher a cueilli 273 pommes et 234 poires. Il veut remplir des sacs pour ses clients.
234 = 9 × 26, mais 273 = 9 × 30 + 3 : le reste n'est pas nul, 273 n'est pas divisible par 9.
On ne peut pas constituer 9 sacs (tous les pommes ne seraient pas utilisés).
| 273 | 3 | 273 = 3 × 7 × 13 |
| 91 | 7 | |
| 13 | 13 | |
| 1 |
| 234 | 2 | 234 = 2 × 32 × 13 |
| 117 | 3 | |
| 39 | 3 | |
| 13 | 13 | |
| 1 |
Pour utiliser tout le stock, le nombre de sacs doit diviser à la fois 273 et 234 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de sacs est donc le PGCD de 273 et 234.
273 = 3 × 7 × 13 et 234 = 2 × 32 × 13
On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
PGCD(273;234) = 3 × 13 = 39.
On pourra constituer au maximum 39 sacs.
273 ÷ 39 = 7 et 234 ÷ 39 = 6.
Chaque sac contiendra 7 pommes et 6 poires.
Un engrenage est composé d'une roue A de 30 dents et d'une roue B de 18 dents. Un repère rouge est placé sur chaque roue, au point de contact : c'est la position initiale.
Il est passé 2 × 30 = 60 dents au point de contact : la roue A est revenue à sa position.
Pour la roue B : 60 = 18 × 3 + 6 : le reste n'est pas nul, 60 n'est pas un multiple de 18.
La roue B n'a pas fait un nombre entier de tours :
l'engrenage n'est pas revenu dans sa position initiale.
| 30 | 2 | 30 = 2 × 3 × 5 |
| 15 | 3 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
| 18 | 2 | 18 = 2 × 32 |
| 9 | 3 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
Chaque roue revient à sa position quand le nombre de dents passées au point de contact est un multiple de son nombre de dents. L'engrenage revient donc dans sa position initiale quand ce nombre est un multiple commun de 30 et 18 : la première fois, au PPCM.
30 = 2 × 3 × 5 et 18 = 2 × 32
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(30;18) = 2 × 32 × 5 = 90.
Il passe 90 dents au point de contact, soit 90 ÷ 30 = 3 tours de la roue A.
L'engrenage retrouve sa position initiale au bout de 3 tours de la roue A.
90 ÷ 18 = 5.
La roue B aura effectué 5 tours.
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