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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 566 et 669 par deux multiples consécutifs de 7.
Quel est le plus grand multiple de 27 inférieur à 338 ?
Quel est le plus petit multiple de 26 supérieur à 266 ?
7546 5200
7047 10880
À la fin d'une collecte, une association a récolté 242 tee-shirts et 264 pantalons. Elle veut préparer des lots de vêtements.
Un engrenage est composé d'une roue A de 24 dents et d'une roue B de 36 dents. Un repère rouge est placé sur chaque roue, au point de contact : c'est la position initiale.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 566 et 669 par deux multiples consécutifs de 7.
On effectue la division euclidienne de 566 par 7 :
On effectue la division euclidienne de 669 par 7 :
Quel est le plus grand multiple de 27 inférieur à 338 ?
On effectue la division euclidienne de 338 par 27 :
Quel est le plus petit multiple de 26 supérieur à 266 ?
On effectue la division euclidienne de 266 par 26 :
| 7546 | 2 | 7546 = 2 × 73 × 11 |
| 3773 | 7 | |
| 539 | 7 | |
| 77 | 7 | |
| 11 | 11 | |
| 1 |
| 5200 | 2 | 5200 = 24 × 52 × 13 |
| 2600 | 2 | |
| 1300 | 2 | |
| 650 | 2 | |
| 325 | 5 | |
| 65 | 5 | |
| 13 | 13 | |
| 1 |
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où7546 5200
=7546:2 5200:2
=3773 2600
7047 : { 1; 3; 9; 27; 29; 81; 87; 243; 261; 783; 2349; 7047 }
10880 : { 1; 2; 4; 5; 8; 10; 16; 17; 20; 32; 34; 40; 64; 68; 80; 85; 128; 136; 160; 170; 272; 320; 340; 544; 640; 680; 1088; 1360; 2176; 2720; 5440; 10880 }
{ 1 }
PGCD(7047;10880) = 1
Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 7047 et 10880 sont premiers entre eux.
Donc la fraction7047 10880
est irréductible.À la fin d'une collecte, une association a récolté 242 tee-shirts et 264 pantalons. Elle veut préparer des lots de vêtements.
242 = 2 × 121 et 264 = 2 × 132 : 242 et 264 sont tous les deux divisibles par 2.
On peut constituer 2 lots (121 tee-shirts et 132 pantalons dans chaque lot).
264 = 33 × 8, mais 242 = 33 × 7 + 11 : le reste n'est pas nul, 242 n'est pas divisible par 33.
On ne peut pas constituer 33 lots (tous les tee-shirts ne seraient pas utilisés).
| 264 | 2 | 264 = 23 × 3 × 11 |
| 132 | 2 | |
| 66 | 2 | |
| 33 | 3 | |
| 11 | 11 | |
| 1 |
Pour utiliser tout le stock, le nombre de lots doit diviser à la fois 242 et 264 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de lots est donc le PGCD de 242 et 264.
242 = 2 × 112 et 264 = 23 × 3 × 11
On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
PGCD(242;264) = 2 × 11 = 22.
On pourra constituer au maximum 22 lots.
242 ÷ 22 = 11 et 264 ÷ 22 = 12.
Chaque lot contiendra 11 tee-shirts et 12 pantalons.
Un engrenage est composé d'une roue A de 24 dents et d'une roue B de 36 dents. Un repère rouge est placé sur chaque roue, au point de contact : c'est la position initiale.
Il est passé 2 × 24 = 48 dents au point de contact : la roue A est revenue à sa position.
Pour la roue B : 48 = 36 × 1 + 12 : le reste n'est pas nul, 48 n'est pas un multiple de 36.
La roue B n'a pas fait un nombre entier de tours :
l'engrenage n'est pas revenu dans sa position initiale.
| 24 | 2 | 24 = 23 × 3 |
| 12 | 2 | |
| 6 | 2 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
| 36 | 2 | 36 = 22 × 32 |
| 18 | 2 | |
| 9 | 3 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
Chaque roue revient à sa position quand le nombre de dents passées au point de contact est un multiple de son nombre de dents. L'engrenage revient donc dans sa position initiale quand ce nombre est un multiple commun de 24 et 36 : la première fois, au PPCM.
24 = 23 × 3 et 36 = 22 × 32
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(24;36) = 23 × 32 = 72.
Il passe 72 dents au point de contact, soit 72 ÷ 24 = 3 tours de la roue A.
L'engrenage retrouve sa position initiale au bout de 3 tours de la roue A.
72 ÷ 36 = 2.
La roue B aura effectué 2 tours.
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