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La mort semble bien moins terrible, quand on est fatigué.
Simone de Beauvoir
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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 333 et 519 par deux multiples consécutifs de 11.
Quel est le plus grand multiple de 7 inférieur à 71 ?
Quel est le plus petit multiple de 3 supérieur à 34 ?
15925 2232
812 524
On souhaite réaliser des sachets de bonbons. Pour cela, on dispose de 80 bonbons à la fraise et de 48 bonbons au caramel.
Un engrenage est composé d'une roue A de 25 dents et d'une roue B de 10 dents. Un repère rouge est placé sur chaque roue, au point de contact : c'est la position initiale.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 333 et 519 par deux multiples consécutifs de 11.
On effectue la division euclidienne de 333 par 11 :
On effectue la division euclidienne de 519 par 11 :
Quel est le plus grand multiple de 7 inférieur à 71 ?
On effectue la division euclidienne de 71 par 7 :
Quel est le plus petit multiple de 3 supérieur à 34 ?
On effectue la division euclidienne de 34 par 3 :
| 15925 | 5 | 15925 = 52 × 72 × 13 |
| 3185 | 5 | |
| 637 | 7 | |
| 91 | 7 | |
| 13 | 13 | |
| 1 |
| 2232 | 2 | 2232 = 23 × 32 × 31 |
| 1116 | 2 | |
| 558 | 2 | |
| 279 | 3 | |
| 93 | 3 | |
| 31 | 31 | |
| 1 |
15925 2232
est irréductible.812 : { 1; 2; 4; 7; 14; 28; 29; 58; 116; 203; 406; 812 }
524 : { 1; 2; 4; 131; 262; 524 }
{ 1; 2; 4 }
PGCD(812;524) = 4
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où812 524
=812:4 524:4
=203 131
On souhaite réaliser des sachets de bonbons. Pour cela, on dispose de 80 bonbons à la fraise et de 48 bonbons au caramel.
80 = 5 × 16, mais 48 = 5 × 9 + 3 : le reste n'est pas nul, 48 n'est pas divisible par 5.
On ne peut pas constituer 5 sachets (tous les bonbons au caramel ne seraient pas utilisés).
| 80 | 2 | 80 = 24 × 5 |
| 40 | 2 | |
| 20 | 2 | |
| 10 | 2 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
| 48 | 2 | 48 = 24 × 3 |
| 24 | 2 | |
| 12 | 2 | |
| 6 | 2 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
{ 1; 2; 4; 8; 16 }
Pour utiliser tout le stock, le nombre de sachets doit diviser à la fois 80 et 48 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de sachets est donc le PGCD de 80 et 48.
Le plus grand des diviseurs communs est 16.
On pourra constituer au maximum 16 sachets.
80 ÷ 16 = 5 et 48 ÷ 16 = 3.
Chaque sachet contiendra 5 bonbons à la fraise et 3 bonbons au caramel.
Un engrenage est composé d'une roue A de 25 dents et d'une roue B de 10 dents. Un repère rouge est placé sur chaque roue, au point de contact : c'est la position initiale.
Il est passé 1 × 25 = 25 dents au point de contact : la roue A est revenue à sa position.
Pour la roue B : 25 = 10 × 2 + 5 : le reste n'est pas nul, 25 n'est pas un multiple de 10.
La roue B n'a pas fait un nombre entier de tours :
l'engrenage n'est pas revenu dans sa position initiale.
| 25 | 5 | 25 = 52 |
| 5 | 5 | |
| 1 |
| 10 | 2 | 10 = 2 × 5 |
| 5 | 5 | |
| 1 |
Chaque roue revient à sa position quand le nombre de dents passées au point de contact est un multiple de son nombre de dents. L'engrenage revient donc dans sa position initiale quand ce nombre est un multiple commun de 25 et 10 : la première fois, au PPCM.
25 = 52 et 10 = 2 × 5
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(25;10) = 2 × 52 = 50.
Il passe 50 dents au point de contact, soit 50 ÷ 25 = 2 tours de la roue A.
L'engrenage retrouve sa position initiale au bout de 2 tours de la roue A.
50 ÷ 10 = 5.
La roue B aura effectué 5 tours.
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