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La théorie, c'est quand on sait tout et que rien ne fonctionne. La pratique, c'est quand tout fonctionne et que personne ne sait pourquoi. Ici, nous avons réuni théorie et pratique : Rien ne fonctionne... et personne ne sait pourquoi !
Albert Einstein
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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 438 et 361 par deux multiples consécutifs de 14.
Quel est le plus grand multiple de 14 inférieur à 134 ?
Quel est le plus petit multiple de 18 supérieur à 159 ?
891 11340
2673 12880
Un professeur organise une sortie pédagogique pour les 270 garçons et les 297 filles de troisième du collège. Il veut les répartir en groupes.
Sur la piste du stade, Inès court un tour en 295 s et Yanis en 177 s, à allure régulière.
Ils partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 438 et 361 par deux multiples consécutifs de 14.
On effectue la division euclidienne de 438 par 14 :
On effectue la division euclidienne de 361 par 14 :
Quel est le plus grand multiple de 14 inférieur à 134 ?
On effectue la division euclidienne de 134 par 14 :
Quel est le plus petit multiple de 18 supérieur à 159 ?
On effectue la division euclidienne de 159 par 18 :
| 891 | 3 | 891 = 34 × 11 |
| 297 | 3 | |
| 99 | 3 | |
| 33 | 3 | |
| 11 | 11 | |
| 1 |
| 11340 | 2 | 11340 = 22 × 34 × 5 × 7 |
| 5670 | 2 | |
| 2835 | 3 | |
| 945 | 3 | |
| 315 | 3 | |
| 105 | 3 | |
| 35 | 5 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où891 11340
=891:81 11340:81
=11 140
2673 : { 1; 3; 9; 11; 27; 33; 81; 99; 243; 297; 891; 2673 }
12880 : { 1; 2; 4; 5; 7; 8; 10; 14; 16; 20; 23; 28; 35; 40; 46; 56; 70; 80; 92; 112; 115; 140; 161; 184; 230; 280; 322; 368; 460; 560; 644; 805; 920; 1288; 1610; 1840; 2576; 3220; 6440; 12880 }
{ 1 }
PGCD(2673;12880) = 1
Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 2673 et 12880 sont premiers entre eux.
Donc la fraction2673 12880
est irréductible.Critère de divisibilité par 3 :
Un nombre entier est divisible par 3 si (et seulement si) la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.
.
Un professeur organise une sortie pédagogique pour les 270 garçons et les 297 filles de troisième du collège. Il veut les répartir en groupes.
270 = 45 × 6, mais 297 = 45 × 6 + 27 : le reste n'est pas nul, 297 n'est pas divisible par 45.
On ne peut pas constituer 45 groupes (tous les filles ne seraient pas utilisés).
| 270 | 2 | 270 = 2 × 33 × 5 |
| 135 | 3 | |
| 45 | 3 | |
| 15 | 3 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
| 297 | 3 | 297 = 33 × 11 |
| 99 | 3 | |
| 33 | 3 | |
| 11 | 11 | |
| 1 |
{ 1; 3; 9; 27 }
Pour utiliser tout le stock, le nombre de groupes doit diviser à la fois 270 et 297 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de groupes est donc le PGCD de 270 et 297.
Le plus grand des diviseurs communs est 27.
On pourra constituer au maximum 27 groupes.
270 ÷ 27 = 10 et 297 ÷ 27 = 11.
Chaque groupe contiendra 10 garçons et 11 filles.
Sur la piste du stade, Inès court un tour en 295 s et Yanis en 177 s, à allure régulière.
Ils partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours.
590 = 2 × 295 : Inès a fait exactement 2 tours et se trouve donc de nouveau sur la ligne de départ.
590 = 177 × 3 + 59 : le reste n'est pas nul, 590 n'est pas un multiple de 177.
Ce n'est pas le cas de Yanis, qui a fait 3 tours et 59 s.
| 295 | 5 | 295 = 5 × 59 |
| 59 | 59 | |
| 1 |
| 177 | 3 | 177 = 3 × 59 |
| 59 | 59 | |
| 1 |
Inès passe sur la ligne de départ toutes les 295 s (aux multiples de 295), et Yanis toutes les 177 s (aux multiples de 177). Ils s'y retrouvent ensemble aux multiples communs de 295 et 177 : la première fois, au bout du PPCM de 295 et 177.
295 = 5 × 59 et 177 = 3 × 59
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(295;177) = 3 × 5 × 59 = 885.
Ils se retrouveront ensemble sur la ligne de départ au bout de 885 s, soit 14 min 45 s.
885 ÷ 295 = 3 et 885 ÷ 177 = 5.
Inès aura fait 3 tours et Yanis 5 tours.
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