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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 226 et 67 par deux multiples consécutifs de 15.
Quel est le plus grand multiple de 3 inférieur à 53 ?
Quel est le plus petit multiple de 10 supérieur à 163 ?
744 1472
4455 3712
Un professeur organise une sortie pédagogique pour les 195 garçons et les 429 filles de troisième du collège. Il veut les répartir en groupes.
Sur la piste d'un vélodrome, Léa fait un tour en 238 s et Hugo en 306 s. Ils roulent à allure constante.
Ils partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 226 et 67 par deux multiples consécutifs de 15.
On effectue la division euclidienne de 226 par 15 :
On effectue la division euclidienne de 67 par 15 :
Quel est le plus grand multiple de 3 inférieur à 53 ?
On effectue la division euclidienne de 53 par 3 :
Quel est le plus petit multiple de 10 supérieur à 163 ?
On effectue la division euclidienne de 163 par 10 :
| 744 | 2 | 744 = 23 × 3 × 31 |
| 372 | 2 | |
| 186 | 2 | |
| 93 | 3 | |
| 31 | 31 | |
| 1 |
| 1472 | 2 | 1472 = 26 × 23 |
| 736 | 2 | |
| 368 | 2 | |
| 184 | 2 | |
| 92 | 2 | |
| 46 | 2 | |
| 23 | 23 | |
| 1 |
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où744 1472
=744:8 1472:8
=93 184
4455 : { 1; 3; 5; 9; 11; 15; 27; 33; 45; 55; 81; 99; 135; 165; 297; 405; 495; 891; 1485; 4455 }
3712 : { 1; 2; 4; 8; 16; 29; 32; 58; 64; 116; 128; 232; 464; 928; 1856; 3712 }
{ 1 }
PGCD(4455;3712) = 1
Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 4455 et 3712 sont premiers entre eux.
Donc la fraction4455 3712
est irréductible.Critère de divisibilité par 3 :
Un nombre entier est divisible par 3 si (et seulement si) la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.
.
Un professeur organise une sortie pédagogique pour les 195 garçons et les 429 filles de troisième du collège. Il veut les répartir en groupes.
195 = 13 × 15 et 429 = 13 × 33 : 195 et 429 sont tous les deux divisibles par 13.
On peut constituer 13 groupes (15 garçons et 33 filles dans chaque groupe).
195 = 15 × 13, mais 429 = 15 × 28 + 9 : le reste n'est pas nul, 429 n'est pas divisible par 15.
On ne peut pas constituer 15 groupes (tous les filles ne seraient pas utilisés).
| 195 | 3 | 195 = 3 × 5 × 13 |
| 65 | 5 | |
| 13 | 13 | |
| 1 |
| 429 | 3 | 429 = 3 × 11 × 13 |
| 143 | 11 | |
| 13 | 13 | |
| 1 |
{ 1; 3; 13; 39 }
Pour utiliser tout le stock, le nombre de groupes doit diviser à la fois 195 et 429 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de groupes est donc le PGCD de 195 et 429.
Le plus grand des diviseurs communs est 39.
On pourra constituer au maximum 39 groupes.
195 ÷ 39 = 5 et 429 ÷ 39 = 11.
Chaque groupe contiendra 5 garçons et 11 filles.
Sur la piste d'un vélodrome, Léa fait un tour en 238 s et Hugo en 306 s. Ils roulent à allure constante.
Ils partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours.
1428 = 6 × 238 : Léa a fait exactement 6 tours et se trouve donc de nouveau sur la ligne de départ.
1428 = 306 × 4 + 204 : le reste n'est pas nul, 1428 n'est pas un multiple de 306.
Ce n'est pas le cas d'Hugo, qui a fait 4 tours et 204 s.
| 238 | 2 | 238 = 2 × 7 × 17 |
| 119 | 7 | |
| 17 | 17 | |
| 1 |
| 306 | 2 | 306 = 2 × 32 × 17 |
| 153 | 3 | |
| 51 | 3 | |
| 17 | 17 | |
| 1 |
Léa passe sur la ligne de départ toutes les 238 s (aux multiples de 238), et Hugo toutes les 306 s (aux multiples de 306). Ils s'y retrouvent ensemble aux multiples communs de 238 et 306 : la première fois, au bout du PPCM de 238 et 306.
238 = 2 × 7 × 17 et 306 = 2 × 32 × 17
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(238;306) = 2 × 32 × 7 × 17 = 2142.
Ils se retrouveront ensemble sur la ligne de départ au bout de 2142 s, soit 35 min 42 s.
2142 ÷ 238 = 9 et 2142 ÷ 306 = 7.
Léa aura fait 9 tours et Hugo 7 tours.
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