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La vie se passe à désirer ce qu'on n'a pas, à regretter ce qu'on n'a plus.
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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 563 et 353 par deux multiples consécutifs de 24.
Quel est le plus grand multiple de 16 inférieur à 216 ?
Quel est le plus petit multiple de 3 supérieur à 59 ?
2000 7533
320 5859
On souhaite réaliser des sachets de bonbons. Pour cela, on dispose de 160 bonbons à la fraise et de 384 bonbons au caramel.
Deux phares sont visibles depuis la plage. Le phare A émet un éclat toutes
les 14 secondes, le phare B toutes les 35 secondes.
À minuit pile, les deux phares émettent un éclat en même temps.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 563 et 353 par deux multiples consécutifs de 24.
On effectue la division euclidienne de 563 par 24 :
On effectue la division euclidienne de 353 par 24 :
Quel est le plus grand multiple de 16 inférieur à 216 ?
On effectue la division euclidienne de 216 par 16 :
Quel est le plus petit multiple de 3 supérieur à 59 ?
On effectue la division euclidienne de 59 par 3 :
| 2000 | 2 | 2000 = 24 × 53 |
| 1000 | 2 | |
| 500 | 2 | |
| 250 | 2 | |
| 125 | 5 | |
| 25 | 5 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
| 7533 | 3 | 7533 = 35 × 31 |
| 2511 | 3 | |
| 837 | 3 | |
| 279 | 3 | |
| 93 | 3 | |
| 31 | 31 | |
| 1 |
2000 7533
est irréductible.320 : { 1; 2; 4; 5; 8; 10; 16; 20; 32; 40; 64; 80; 160; 320 }
5859 : { 1; 3; 7; 9; 21; 27; 31; 63; 93; 189; 217; 279; 651; 837; 1953; 5859 }
{ 1 }
PGCD(320;5859) = 1
Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 320 et 5859 sont premiers entre eux.
Donc la fraction320 5859
est irréductible.On souhaite réaliser des sachets de bonbons. Pour cela, on dispose de 160 bonbons à la fraise et de 384 bonbons au caramel.
384 = 24 × 16, mais 160 = 24 × 6 + 16 : le reste n'est pas nul, 160 n'est pas divisible par 24.
On ne peut pas constituer 24 sachets (tous les bonbons à la fraise ne seraient pas utilisés).
160 = 16 × 10 et 384 = 16 × 24 : 160 et 384 sont tous les deux divisibles par 16.
On peut constituer 16 sachets (10 bonbons à la fraise et 24 bonbons au caramel dans chaque sachet).
| 160 | 2 | 160 = 25 × 5 |
| 80 | 2 | |
| 40 | 2 | |
| 20 | 2 | |
| 10 | 2 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
| 384 | 2 | 384 = 27 × 3 |
| 192 | 2 | |
| 96 | 2 | |
| 48 | 2 | |
| 24 | 2 | |
| 12 | 2 | |
| 6 | 2 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
{ 1; 2; 4; 8; 16; 32 }
Pour utiliser tout le stock, le nombre de sachets doit diviser à la fois 160 et 384 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de sachets est donc le PGCD de 160 et 384.
Le plus grand des diviseurs communs est 32.
On pourra constituer au maximum 32 sachets.
160 ÷ 32 = 5 et 384 ÷ 32 = 12.
Chaque sachet contiendra 5 bonbons à la fraise et 12 bonbons au caramel.
Deux phares sont visibles depuis la plage. Le phare A émet un éclat toutes
les 14 secondes, le phare B toutes les 35 secondes.
À minuit pile, les deux phares émettent un éclat en même temps.
28 = 2 × 14 : c'est un multiple de 14, le phare A émet donc un éclat (son 2e depuis minuit).
28 = 35 × 0 + 28 : le reste n'est pas nul, 28 n'est pas un multiple de 35.
Le phare B n'émet pas d'éclat à cet instant.
| 14 | 2 | 14 = 2 × 7 |
| 7 | 7 | |
| 1 |
| 35 | 5 | 35 = 5 × 7 |
| 7 | 7 | |
| 1 |
Le phare A émet un éclat aux multiples de 14 s, le phare B aux multiples de 35 s. Ils émettent ensemble aux multiples communs de 14 et 35 : la première fois, au bout du PPCM.
14 = 2 × 7 et 35 = 5 × 7
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(14;35) = 2 × 5 × 7 = 70.
Les deux phares émettront de nouveau un éclat en même temps au bout de 70 s, soit 1 min 10 s.
70 ÷ 14 = 5 et 70 ÷ 35 = 2.
Le phare A aura émis 5 éclats et le phare B 2 éclats.
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