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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 448 et 365 par deux multiples consécutifs de 17.
Quel est le plus grand multiple de 8 inférieur à 190 ?
Quel est le plus petit multiple de 11 supérieur à 100 ?
2100 3648
11875 6144
Un pâtissier a fabriqué 45 chocolats et 54 biscuits. Avec sa production du jour, il veut remplir des boîtes.
Un engrenage est composé d'une roue A de 30 dents et d'une roue B de 50 dents. Un repère rouge est placé sur chaque roue, au point de contact : c'est la position initiale.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 448 et 365 par deux multiples consécutifs de 17.
On effectue la division euclidienne de 448 par 17 :
On effectue la division euclidienne de 365 par 17 :
Quel est le plus grand multiple de 8 inférieur à 190 ?
On effectue la division euclidienne de 190 par 8 :
Quel est le plus petit multiple de 11 supérieur à 100 ?
On effectue la division euclidienne de 100 par 11 :
| 2100 | 2 | 2100 = 22 × 3 × 52 × 7 |
| 1050 | 2 | |
| 525 | 3 | |
| 175 | 5 | |
| 35 | 5 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
| 3648 | 2 | 3648 = 26 × 3 × 19 |
| 1824 | 2 | |
| 912 | 2 | |
| 456 | 2 | |
| 228 | 2 | |
| 114 | 2 | |
| 57 | 3 | |
| 19 | 19 | |
| 1 |
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où2100 3648
=2100:12 3648:12
=175 304
11875 : { 1; 5; 19; 25; 95; 125; 475; 625; 2375; 11875 }
6144 : { 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 16; 24; 32; 48; 64; 96; 128; 192; 256; 384; 512; 768; 1024; 1536; 2048; 3072; 6144 }
{ 1 }
PGCD(11875;6144) = 1
Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 11875 et 6144 sont premiers entre eux.
Donc la fraction11875 6144
est irréductible.Critère de divisibilité par 3 :
Un nombre entier est divisible par 3 si (et seulement si) la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.
.
Un pâtissier a fabriqué 45 chocolats et 54 biscuits. Avec sa production du jour, il veut remplir des boîtes.
45 = 3 × 15 et 54 = 3 × 18 : 45 et 54 sont tous les deux divisibles par 3.
On peut constituer 3 boîtes (15 chocolats et 18 biscuits dans chaque boîte).
45 = 15 × 3, mais 54 = 15 × 3 + 9 : le reste n'est pas nul, 54 n'est pas divisible par 15.
On ne peut pas constituer 15 boîtes (tous les biscuits ne seraient pas utilisés).
| 45 | 3 | 45 = 32 × 5 |
| 15 | 3 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
| 54 | 2 | 54 = 2 × 33 |
| 27 | 3 | |
| 9 | 3 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
{ 1; 3; 9 }
Pour utiliser tout le stock, le nombre de boîtes doit diviser à la fois 45 et 54 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de boîtes est donc le PGCD de 45 et 54.
Le plus grand des diviseurs communs est 9.
On pourra constituer au maximum 9 boîtes.
45 ÷ 9 = 5 et 54 ÷ 9 = 6.
Chaque boîte contiendra 5 chocolats et 6 biscuits.
Un engrenage est composé d'une roue A de 30 dents et d'une roue B de 50 dents. Un repère rouge est placé sur chaque roue, au point de contact : c'est la position initiale.
Il est passé 3 × 30 = 90 dents au point de contact : la roue A est revenue à sa position.
Pour la roue B : 90 = 50 × 1 + 40 : le reste n'est pas nul, 90 n'est pas un multiple de 50.
La roue B n'a pas fait un nombre entier de tours :
l'engrenage n'est pas revenu dans sa position initiale.
| 30 | 2 | 30 = 2 × 3 × 5 |
| 15 | 3 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
| 50 | 2 | 50 = 2 × 52 |
| 25 | 5 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
Chaque roue revient à sa position quand le nombre de dents passées au point de contact est un multiple de son nombre de dents. L'engrenage revient donc dans sa position initiale quand ce nombre est un multiple commun de 30 et 50 : la première fois, au PPCM.
30 = 2 × 3 × 5 et 50 = 2 × 52
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(30;50) = 2 × 3 × 52 = 150.
Il passe 150 dents au point de contact, soit 150 ÷ 30 = 5 tours de la roue A.
L'engrenage retrouve sa position initiale au bout de 5 tours de la roue A.
150 ÷ 50 = 3.
La roue B aura effectué 3 tours.
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