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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 391 et 150 par deux multiples consécutifs de 18.
Quel est le plus grand multiple de 10 inférieur à 165 ?
Quel est le plus petit multiple de 21 supérieur à 196 ?
11040 10920
54 775
Un maraîcher a cueilli 385 pommes et 140 poires. Il veut remplir des sacs pour ses clients.
Un engrenage est composé d'une roue A de 10 dents et d'une roue B de 12 dents. Un repère rouge est placé sur chaque roue, au point de contact : c'est la position initiale.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 391 et 150 par deux multiples consécutifs de 18.
On effectue la division euclidienne de 391 par 18 :
On effectue la division euclidienne de 150 par 18 :
Quel est le plus grand multiple de 10 inférieur à 165 ?
On effectue la division euclidienne de 165 par 10 :
Quel est le plus petit multiple de 21 supérieur à 196 ?
On effectue la division euclidienne de 196 par 21 :
| 11040 | 2 | 11040 = 25 × 3 × 5 × 23 |
| 5520 | 2 | |
| 2760 | 2 | |
| 1380 | 2 | |
| 690 | 2 | |
| 345 | 3 | |
| 115 | 5 | |
| 23 | 23 | |
| 1 |
| 10920 | 2 | 10920 = 23 × 3 × 5 × 7 × 13 |
| 5460 | 2 | |
| 2730 | 2 | |
| 1365 | 3 | |
| 455 | 5 | |
| 91 | 7 | |
| 13 | 13 | |
| 1 |
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où11040 10920
=11040:120 10920:120
=92 91
54 : { 1; 2; 3; 6; 9; 18; 27; 54 }
775 : { 1; 5; 25; 31; 155; 775 }
{ 1 }
PGCD(54;775) = 1
Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 54 et 775 sont premiers entre eux.
Donc la fraction54 775
est irréductible.Critère de divisibilité par 3 :
Un nombre entier est divisible par 3 si (et seulement si) la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.
.
Un maraîcher a cueilli 385 pommes et 140 poires. Il veut remplir des sacs pour ses clients.
385 = 7 × 55 et 140 = 7 × 20 : 385 et 140 sont tous les deux divisibles par 7.
On peut constituer 7 sacs (55 pommes et 20 poires dans chaque sac).
140 = 28 × 5, mais 385 = 28 × 13 + 21 : le reste n'est pas nul, 385 n'est pas divisible par 28.
On ne peut pas constituer 28 sacs (tous les pommes ne seraient pas utilisés).
| 385 | 5 | 385 = 5 × 7 × 11 |
| 77 | 7 | |
| 11 | 11 | |
| 1 |
| 140 | 2 | 140 = 22 × 5 × 7 |
| 70 | 2 | |
| 35 | 5 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
Pour utiliser tout le stock, le nombre de sacs doit diviser à la fois 385 et 140 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de sacs est donc le PGCD de 385 et 140.
385 = 5 × 7 × 11 et 140 = 22 × 5 × 7
On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
PGCD(385;140) = 5 × 7 = 35.
On pourra constituer au maximum 35 sacs.
385 ÷ 35 = 11 et 140 ÷ 35 = 4.
Chaque sac contiendra 11 pommes et 4 poires.
Un engrenage est composé d'une roue A de 10 dents et d'une roue B de 12 dents. Un repère rouge est placé sur chaque roue, au point de contact : c'est la position initiale.
Il est passé 2 × 10 = 20 dents au point de contact : la roue A est revenue à sa position.
Pour la roue B : 20 = 12 × 1 + 8 : le reste n'est pas nul, 20 n'est pas un multiple de 12.
La roue B n'a pas fait un nombre entier de tours :
l'engrenage n'est pas revenu dans sa position initiale.
| 10 | 2 | 10 = 2 × 5 |
| 5 | 5 | |
| 1 |
| 12 | 2 | 12 = 22 × 3 |
| 6 | 2 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
Chaque roue revient à sa position quand le nombre de dents passées au point de contact est un multiple de son nombre de dents. L'engrenage revient donc dans sa position initiale quand ce nombre est un multiple commun de 10 et 12 : la première fois, au PPCM.
10 = 2 × 5 et 12 = 22 × 3
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(10;12) = 22 × 3 × 5 = 60.
Il passe 60 dents au point de contact, soit 60 ÷ 10 = 6 tours de la roue A.
L'engrenage retrouve sa position initiale au bout de 6 tours de la roue A.
60 ÷ 12 = 5.
La roue B aura effectué 5 tours.
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