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Ce n'est pas parce qu'en hiver on dit «fermez la porte, il fait froid dehors», qu'il fait moins froid dehors quand la porte est fermée.
Pierre Dac (sur mon T shirt!)
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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 107 et 904 par deux multiples consécutifs de 15.
Quel est le plus grand multiple de 21 inférieur à 469 ?
Quel est le plus petit multiple de 11 supérieur à 96 ?
5460 11500
10143 3200
À la fin d'une collecte, une association a récolté 130 tee-shirts et 286 pantalons. Elle veut préparer des lots de vêtements.
Un engrenage est composé d'une roue A de 55 dents et d'une roue B de 33 dents. Un repère rouge est placé sur chaque roue, au point de contact : c'est la position initiale.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 107 et 904 par deux multiples consécutifs de 15.
On effectue la division euclidienne de 107 par 15 :
On effectue la division euclidienne de 904 par 15 :
Quel est le plus grand multiple de 21 inférieur à 469 ?
On effectue la division euclidienne de 469 par 21 :
Quel est le plus petit multiple de 11 supérieur à 96 ?
On effectue la division euclidienne de 96 par 11 :
| 5460 | 2 | 5460 = 22 × 3 × 5 × 7 × 13 |
| 2730 | 2 | |
| 1365 | 3 | |
| 455 | 5 | |
| 91 | 7 | |
| 13 | 13 | |
| 1 |
| 11500 | 2 | 11500 = 22 × 53 × 23 |
| 5750 | 2 | |
| 2875 | 5 | |
| 575 | 5 | |
| 115 | 5 | |
| 23 | 23 | |
| 1 |
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où5460 11500
=5460:20 11500:20
=273 575
10143 : { 1; 3; 7; 9; 21; 23; 49; 63; 69; 147; 161; 207; 441; 483; 1127; 1449; 3381; 10143 }
3200 : { 1; 2; 4; 5; 8; 10; 16; 20; 25; 32; 40; 50; 64; 80; 100; 128; 160; 200; 320; 400; 640; 800; 1600; 3200 }
{ 1 }
PGCD(10143;3200) = 1
Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 10143 et 3200 sont premiers entre eux.
Donc la fraction10143 3200
est irréductible.Critère de divisibilité par 3 :
Un nombre entier est divisible par 3 si (et seulement si) la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.
.
À la fin d'une collecte, une association a récolté 130 tee-shirts et 286 pantalons. Elle veut préparer des lots de vêtements.
130 = 2 × 65 et 286 = 2 × 143 : 130 et 286 sont tous les deux divisibles par 2.
On peut constituer 2 lots (65 tee-shirts et 143 pantalons dans chaque lot).
286 = 22 × 13, mais 130 = 22 × 5 + 20 : le reste n'est pas nul, 130 n'est pas divisible par 22.
On ne peut pas constituer 22 lots (tous les tee-shirts ne seraient pas utilisés).
| 286 | 2 | 286 = 2 × 11 × 13 |
| 143 | 11 | |
| 13 | 13 | |
| 1 |
Pour utiliser tout le stock, le nombre de lots doit diviser à la fois 130 et 286 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de lots est donc le PGCD de 130 et 286.
130 = 2 × 5 × 13 et 286 = 2 × 11 × 13
On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
PGCD(130;286) = 2 × 13 = 26.
On pourra constituer au maximum 26 lots.
130 ÷ 26 = 5 et 286 ÷ 26 = 11.
Chaque lot contiendra 5 tee-shirts et 11 pantalons.
Un engrenage est composé d'une roue A de 55 dents et d'une roue B de 33 dents. Un repère rouge est placé sur chaque roue, au point de contact : c'est la position initiale.
Il est passé 2 × 55 = 110 dents au point de contact : la roue A est revenue à sa position.
Pour la roue B : 110 = 33 × 3 + 11 : le reste n'est pas nul, 110 n'est pas un multiple de 33.
La roue B n'a pas fait un nombre entier de tours :
l'engrenage n'est pas revenu dans sa position initiale.
| 55 | 5 | 55 = 5 × 11 |
| 11 | 11 | |
| 1 |
| 33 | 3 | 33 = 3 × 11 |
| 11 | 11 | |
| 1 |
Chaque roue revient à sa position quand le nombre de dents passées au point de contact est un multiple de son nombre de dents. L'engrenage revient donc dans sa position initiale quand ce nombre est un multiple commun de 55 et 33 : la première fois, au PPCM.
55 = 5 × 11 et 33 = 3 × 11
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(55;33) = 3 × 5 × 11 = 165.
Il passe 165 dents au point de contact, soit 165 ÷ 55 = 3 tours de la roue A.
L'engrenage retrouve sa position initiale au bout de 3 tours de la roue A.
165 ÷ 33 = 5.
La roue B aura effectué 5 tours.
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