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Les idiotes ne sont jamais aussi idiotes qu'on croit.
Les idiots, si.Marcel Achard (sur mon T shirt!)
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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 965 et 316 par deux multiples consécutifs de 7.
Quel est le plus grand multiple de 27 inférieur à 256 ?
Quel est le plus petit multiple de 23 supérieur à 389 ?
108 15925
88 627
On souhaite réaliser des sachets de bonbons. Pour cela, on dispose de 245 bonbons à la fraise et de 210 bonbons au caramel.
Deux phares sont visibles depuis la plage. Le phare A émet un éclat toutes
les 10 secondes, le phare B toutes les 8 secondes.
À minuit pile, les deux phares émettent un éclat en même temps.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 965 et 316 par deux multiples consécutifs de 7.
On effectue la division euclidienne de 965 par 7 :
On effectue la division euclidienne de 316 par 7 :
Quel est le plus grand multiple de 27 inférieur à 256 ?
On effectue la division euclidienne de 256 par 27 :
Quel est le plus petit multiple de 23 supérieur à 389 ?
On effectue la division euclidienne de 389 par 23 :
| 108 | 2 | 108 = 22 × 33 |
| 54 | 2 | |
| 27 | 3 | |
| 9 | 3 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
| 15925 | 5 | 15925 = 52 × 72 × 13 |
| 3185 | 5 | |
| 637 | 7 | |
| 91 | 7 | |
| 13 | 13 | |
| 1 |
108 15925
est irréductible.88 : { 1; 2; 4; 8; 11; 22; 44; 88 }
627 : { 1; 3; 11; 19; 33; 57; 209; 627 }
{ 1; 11 }
PGCD(88;627) = 11
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où88 627
=88:11 627:11
=8 57
On souhaite réaliser des sachets de bonbons. Pour cela, on dispose de 245 bonbons à la fraise et de 210 bonbons au caramel.
245 = 49 × 5, mais 210 = 49 × 4 + 14 : le reste n'est pas nul, 210 n'est pas divisible par 49.
On ne peut pas constituer 49 sachets (tous les bonbons au caramel ne seraient pas utilisés).
| 245 | 5 | 245 = 5 × 72 |
| 49 | 7 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
| 210 | 2 | 210 = 2 × 3 × 5 × 7 |
| 105 | 3 | |
| 35 | 5 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
Pour utiliser tout le stock, le nombre de sachets doit diviser à la fois 245 et 210 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de sachets est donc le PGCD de 245 et 210.
245 = 5 × 72 et 210 = 2 × 3 × 5 × 7
On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
PGCD(245;210) = 5 × 7 = 35.
On pourra constituer au maximum 35 sachets.
245 ÷ 35 = 7 et 210 ÷ 35 = 6.
Chaque sachet contiendra 7 bonbons à la fraise et 6 bonbons au caramel.
Deux phares sont visibles depuis la plage. Le phare A émet un éclat toutes
les 10 secondes, le phare B toutes les 8 secondes.
À minuit pile, les deux phares émettent un éclat en même temps.
20 = 2 × 10 : c'est un multiple de 10, le phare A émet donc un éclat (son 2e depuis minuit).
20 = 8 × 2 + 4 : le reste n'est pas nul, 20 n'est pas un multiple de 8.
Le phare B n'émet pas d'éclat à cet instant.
| 10 | 2 | 10 = 2 × 5 |
| 5 | 5 | |
| 1 |
| 8 | 2 | 8 = 23 |
| 4 | 2 | |
| 2 | 2 | |
| 1 |
Le phare A émet un éclat aux multiples de 10 s, le phare B aux multiples de 8 s. Ils émettent ensemble aux multiples communs de 10 et 8 : la première fois, au bout du PPCM.
10 = 2 × 5 et 8 = 23
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(10;8) = 23 × 5 = 40.
Les deux phares émettront de nouveau un éclat en même temps au bout de 40 s.
40 ÷ 10 = 4 et 40 ÷ 8 = 5.
Le phare A aura émis 4 éclats et le phare B 5 éclats.
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Exemples : PYTH0123, PMDE161842, SOMP0042.