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Heureux qui a pu connaître les causes des choses.Virgile (Sur mon T-shirt)
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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 380 et 721 par deux multiples consécutifs de 13.
Quel est le plus grand multiple de 11 inférieur à 246 ?
Quel est le plus petit multiple de 3 supérieur à 46 ?
14406 4550
880 2457
Un DJ a sélectionné 128 titres de rap et 96 titres d'électro. Il veut les répartir en playlists pour ses concerts.
Sur un circuit de karting, un pilote professionnel fait un tour en 248 s et un pilote amateur en 186 s. Ils roulent à vitesse constante.
Ils partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 380 et 721 par deux multiples consécutifs de 13.
On effectue la division euclidienne de 380 par 13 :
On effectue la division euclidienne de 721 par 13 :
Quel est le plus grand multiple de 11 inférieur à 246 ?
On effectue la division euclidienne de 246 par 11 :
Quel est le plus petit multiple de 3 supérieur à 46 ?
On effectue la division euclidienne de 46 par 3 :
| 14406 | 2 | 14406 = 2 × 3 × 74 |
| 7203 | 3 | |
| 2401 | 7 | |
| 343 | 7 | |
| 49 | 7 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
| 4550 | 2 | 4550 = 2 × 52 × 7 × 13 |
| 2275 | 5 | |
| 455 | 5 | |
| 91 | 7 | |
| 13 | 13 | |
| 1 |
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où14406 4550
=14406:14 4550:14
=1029 325
880 : { 1; 2; 4; 5; 8; 10; 11; 16; 20; 22; 40; 44; 55; 80; 88; 110; 176; 220; 440; 880 }
2457 : { 1; 3; 7; 9; 13; 21; 27; 39; 63; 91; 117; 189; 273; 351; 819; 2457 }
{ 1 }
PGCD(880;2457) = 1
Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 880 et 2457 sont premiers entre eux.
Donc la fraction880 2457
est irréductible.Critère de divisibilité par 3 :
Un nombre entier est divisible par 3 si (et seulement si) la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.
.
Un DJ a sélectionné 128 titres de rap et 96 titres d'électro. Il veut les répartir en playlists pour ses concerts.
96 = 3 × 32, mais 128 = 3 × 42 + 2 : le reste n'est pas nul, 128 n'est pas divisible par 3.
On ne peut pas constituer 3 playlists (tous les titres de rap ne seraient pas utilisés).
128 = 4 × 32 et 96 = 4 × 24 : 128 et 96 sont tous les deux divisibles par 4.
On peut constituer 4 playlists (32 titres de rap et 24 titres d'électro dans chaque playlist).
| 128 | 2 | 128 = 27 |
| 64 | 2 | |
| 32 | 2 | |
| 16 | 2 | |
| 8 | 2 | |
| 4 | 2 | |
| 2 | 2 | |
| 1 |
| 96 | 2 | 96 = 25 × 3 |
| 48 | 2 | |
| 24 | 2 | |
| 12 | 2 | |
| 6 | 2 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
{ 1; 2; 4; 8; 16; 32 }
Pour utiliser tout le stock, le nombre de playlists doit diviser à la fois 128 et 96 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de playlists est donc le PGCD de 128 et 96.
Le plus grand des diviseurs communs est 32.
On pourra constituer au maximum 32 playlists.
128 ÷ 32 = 4 et 96 ÷ 32 = 3.
Chaque playlist contiendra 4 titres de rap et 3 titres d'électro.
Sur un circuit de karting, un pilote professionnel fait un tour en 248 s et un pilote amateur en 186 s. Ils roulent à vitesse constante.
Ils partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours.
496 = 2 × 248 : le professionnel a fait exactement 2 tours et se trouve donc de nouveau sur la ligne de départ.
496 = 186 × 2 + 124 : le reste n'est pas nul, 496 n'est pas un multiple de 186.
Ce n'est pas le cas de l'amateur, qui a fait 2 tours et 124 s.
| 248 | 2 | 248 = 23 × 31 |
| 124 | 2 | |
| 62 | 2 | |
| 31 | 31 | |
| 1 |
| 186 | 2 | 186 = 2 × 3 × 31 |
| 93 | 3 | |
| 31 | 31 | |
| 1 |
Le professionnel passe sur la ligne de départ toutes les 248 s (aux multiples de 248), et l'amateur toutes les 186 s (aux multiples de 186). Ils s'y retrouvent ensemble aux multiples communs de 248 et 186 : la première fois, au bout du PPCM de 248 et 186.
248 = 23 × 31 et 186 = 2 × 3 × 31
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(248;186) = 23 × 3 × 31 = 744.
Ils se retrouveront ensemble sur la ligne de départ au bout de 744 s, soit 12 min 24 s.
744 ÷ 248 = 3 et 744 ÷ 186 = 4.
Le professionnel aura fait 3 tours et l'amateur 4 tours.
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