site2wouf.fr : Exercices d'arithmétique

« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »

1. Décompose 4347 et 4640 en produit de facteurs premiers.
2. Déduis leur PPCM (Plus petit multiple commun)
3. Déduis en leur PGCD (Plus grand diviseur commun)
4. Simplifie au maximum la fraction :
   

   4347 / 4640

1. Donne les listes ordonnées des diviseurs de 483 et 410.
2. Donne la liste ordonnée de leurs diviseurs communs.
3. Déduis-en le PGCD de 483 et 410.
4. Simplifie au maximum la fraction :
   

   483 / 410

À la fin d'une collecte, une association a récolté 78 tee-shirts et 104 pantalons. Elle veut préparer des lots de vêtements.

• Tous les lots contiennent le même nombre de tee-shirts.
• Tous les lots contiennent le même nombre de pantalons.
• Tous les vêtements sont distribués.

1. Peut-on constituer 39 lots ? Et Peut-on constituer 2 lots ?
2. La décomposition en facteurs premiers de 78 est 2 × 3 × 13.
   Quelle est la décomposition en facteurs premiers de 104 ?
3. Quel nombre maximal de lots pourra-t-on constituer ?
4. Quelle sera alors la composition de chaque lot ?

À la gare routière, les bus de la ligne A partent toutes les 18 minutes et ceux de la ligne B toutes les 12 minutes.
Un bus de la ligne A et un bus de la ligne B partent ensemble à 6 h 30.

1. Explique pourquoi un bus de la ligne A part à 6 h 48. Un bus de la ligne B part-il aussi à cette heure-là ?
2. Décompose 18 et 12 en produit de facteurs premiers.
3. À quelle heure deux bus des lignes A et B repartiront-ils ensemble pour la première fois ?
4. Combien de bus de chaque ligne seront partis entre-temps (sans compter ceux de 6 h 30) ?

On effectue la division euclidienne de 860 par 14 :

• 860 = 14 × 61 + 6 et 6 < 14
• 860 = 854 + 6
• donc 854 < 860 < 868 (854 + 14)

On effectue la division euclidienne de 888 par 14 :

• 888 = 14 × 63 + 6 et 6 < 14
• 888 = 882 + 6
• donc 882 < 888 < 896 (882 + 14)

1. Décompositions :
   4347 = 3³ × 7 × 23
   4640 = 2⁵ × 5 × 29
2. Calcul du plus petit multiple commun :
   PPCM(4347;4640) = 2⁵ × 3³ × 5 × 7 × 23 × 29 = 20170080
3. Calcul du plus grand diviseur commun :
   PGCD(4347,4640) = 1
4. Simplification de la fraction :
   Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 4347 et 4640 sont premiers entre eux.
   Donc la fraction

   4347 / 4640

   est irréductible.

1. Les diviseurs :

   483 : { 1; 3; 7; 21; 23; 69; 161; 483 }
   410 : { 1; 2; 5; 10; 41; 82; 205; 410 }

2. Les diviseurs communs de 483 et 410 sont :

   { 1 }

3. Le plus grand diviseur commun de 483 et 410 est :

   PGCD(483;410) = 1

4. Simplification de la fraction :

   Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 483 et 410 sont premiers entre eux.

   Donc la fraction

   483 / 410

   est irréductible.

À la fin d'une collecte, une association a récolté 78 tee-shirts et 104 pantalons. Elle veut préparer des lots de vêtements.

• Tous les lots contiennent le même nombre de tee-shirts.
• Tous les lots contiennent le même nombre de pantalons.
• Tous les vêtements sont distribués.

1. Peut-on constituer 39 lots ? Et Peut-on constituer 2 lots ?
2. La décomposition en facteurs premiers de 78 est 2 × 3 × 13.
   Quelle est la décomposition en facteurs premiers de 104 ?
3. Quel nombre maximal de lots pourra-t-on constituer ?
4. Quelle sera alors la composition de chaque lot ?

1. Nombre de lots :

   78 = 39 × 2, mais 104 = 39 × 2 + 26 : le reste n'est pas nul, 104 n'est pas divisible par 39.
   On ne peut pas constituer 39 lots (tous les pantalons ne seraient pas utilisés).

   78 = 2 × 39 et 104 = 2 × 52 : 78 et 104 sont tous les deux divisibles par 2.
   On peut constituer 2 lots (39 tee-shirts et 52 pantalons dans chaque lot).

2. Décompositions en produit de facteurs premiers :
   On sait que 78 = 2 × 3 × 13.
   Décomposition de 104 :

   104	2	104 = 23 × 13
   52	2
   26	2
   13	13
   1

3. Nombre maximal de lots :

   Pour utiliser tout le stock, le nombre de lots doit diviser à la fois 78 et 104 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de lots est donc le PGCD de 78 et 104.

   78 = 2 × 3 × 13 et 104 = 2³ × 13
   On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
   PGCD(78;104) = 2 × 13 = 26.
   On pourra constituer au maximum 26 lots.

4. Composition de chaque lot :

   78 ÷ 26 = 3 et 104 ÷ 26 = 4.
   Chaque lot contiendra 3 tee-shirts et 4 pantalons.

À la gare routière, les bus de la ligne A partent toutes les 18 minutes et ceux de la ligne B toutes les 12 minutes.
Un bus de la ligne A et un bus de la ligne B partent ensemble à 6 h 30.

1. Explique pourquoi un bus de la ligne A part à 6 h 48. Un bus de la ligne B part-il aussi à cette heure-là ?
2. Décompose 18 et 12 en produit de facteurs premiers.
3. À quelle heure deux bus des lignes A et B repartiront-ils ensemble pour la première fois ?
4. Combien de bus de chaque ligne seront partis entre-temps (sans compter ceux de 6 h 30) ?

1. À 6 h 48 :

   De 6 h 30 à 6 h 48, il s'écoule 18 min, et 18 = 1 × 18 : c'est un multiple de 18, donc un bus de la ligne A part à 6 h 48.
   18 = 12 × 1 + 6 : le reste n'est pas nul, 18 n'est pas un multiple de 12.
   Aucun bus de la ligne B ne part à 6 h 48.

2. Décompositions en produit de facteurs premiers :
   Décomposition de 18 :

   18	2	18 = 2 × 32
   9	3
   3	3
   1

   Décomposition de 12 :

   12	2	12 = 22 × 3
   6	2
   3	3
   1

3. Première rencontre :

   Les bus de la ligne A partent aux multiples de 18 min après 6 h 30, ceux de la ligne B aux multiples de 12 min. Ils repartent ensemble aux multiples communs de 18 et 12 : la première fois, au bout du PPCM.

   18 = 2 × 3² et 12 = 2² × 3
   On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
   PPCM(18;12) = 2² × 3² = 36.
   Ils repartiront ensemble 36 min après 6 h 30 : à 7 h 06.

4. Nombre de tours :

   36 ÷ 18 = 2 et 36 ÷ 12 = 3.
   2 bus de la ligne A et 3 bus de la ligne B seront partis.