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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 823 et 154 par deux multiples consécutifs de 24.
Quel est le plus grand multiple de 20 inférieur à 435 ?
Quel est le plus petit multiple de 26 supérieur à 363 ?
5520 1485
1664 6615
Un professeur organise une sortie pédagogique pour les 144 garçons et les 132 filles de troisième du collège. Il veut les répartir en groupes.
Deux phares sont visibles depuis la plage. Le phare A émet un éclat toutes
les 12 secondes, le phare B toutes les 9 secondes.
À minuit pile, les deux phares émettent un éclat en même temps.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 823 et 154 par deux multiples consécutifs de 24.
On effectue la division euclidienne de 823 par 24 :
On effectue la division euclidienne de 154 par 24 :
Quel est le plus grand multiple de 20 inférieur à 435 ?
On effectue la division euclidienne de 435 par 20 :
Quel est le plus petit multiple de 26 supérieur à 363 ?
On effectue la division euclidienne de 363 par 26 :
| 5520 | 2 | 5520 = 24 × 3 × 5 × 23 |
| 2760 | 2 | |
| 1380 | 2 | |
| 690 | 2 | |
| 345 | 3 | |
| 115 | 5 | |
| 23 | 23 | |
| 1 |
| 1485 | 3 | 1485 = 33 × 5 × 11 |
| 495 | 3 | |
| 165 | 3 | |
| 55 | 5 | |
| 11 | 11 | |
| 1 |
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où5520 1485
=5520:15 1485:15
=368 99
1664 : { 1; 2; 4; 8; 13; 16; 26; 32; 52; 64; 104; 128; 208; 416; 832; 1664 }
6615 : { 1; 3; 5; 7; 9; 15; 21; 27; 35; 45; 49; 63; 105; 135; 147; 189; 245; 315; 441; 735; 945; 1323; 2205; 6615 }
{ 1 }
PGCD(1664;6615) = 1
Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 1664 et 6615 sont premiers entre eux.
Donc la fraction1664 6615
est irréductible.Critère de divisibilité par 3 :
Un nombre entier est divisible par 3 si (et seulement si) la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.
.
Un professeur organise une sortie pédagogique pour les 144 garçons et les 132 filles de troisième du collège. Il veut les répartir en groupes.
132 = 11 × 12, mais 144 = 11 × 13 + 1 : le reste n'est pas nul, 144 n'est pas divisible par 11.
On ne peut pas constituer 11 groupes (tous les garçons ne seraient pas utilisés).
| 144 | 2 | 144 = 24 × 32 |
| 72 | 2 | |
| 36 | 2 | |
| 18 | 2 | |
| 9 | 3 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
| 132 | 2 | 132 = 22 × 3 × 11 |
| 66 | 2 | |
| 33 | 3 | |
| 11 | 11 | |
| 1 |
Pour utiliser tout le stock, le nombre de groupes doit diviser à la fois 144 et 132 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de groupes est donc le PGCD de 144 et 132.
144 = 24 × 32 et 132 = 22 × 3 × 11
On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
PGCD(144;132) = 22 × 3 = 12.
On pourra constituer au maximum 12 groupes.
144 ÷ 12 = 12 et 132 ÷ 12 = 11.
Chaque groupe contiendra 12 garçons et 11 filles.
Deux phares sont visibles depuis la plage. Le phare A émet un éclat toutes
les 12 secondes, le phare B toutes les 9 secondes.
À minuit pile, les deux phares émettent un éclat en même temps.
24 = 2 × 12 : c'est un multiple de 12, le phare A émet donc un éclat (son 2e depuis minuit).
24 = 9 × 2 + 6 : le reste n'est pas nul, 24 n'est pas un multiple de 9.
Le phare B n'émet pas d'éclat à cet instant.
| 12 | 2 | 12 = 22 × 3 |
| 6 | 2 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
| 9 | 3 | 9 = 32 |
| 3 | 3 | |
| 1 |
Le phare A émet un éclat aux multiples de 12 s, le phare B aux multiples de 9 s. Ils émettent ensemble aux multiples communs de 12 et 9 : la première fois, au bout du PPCM.
12 = 22 × 3 et 9 = 32
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(12;9) = 22 × 32 = 36.
Les deux phares émettront de nouveau un éclat en même temps au bout de 36 s.
36 ÷ 12 = 3 et 36 ÷ 9 = 4.
Le phare A aura émis 3 éclats et le phare B 4 éclats.
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