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Pourquoi, en vacances, s'obstine-t-on à choisir douze cartes postales différentes alors qu'elles sont destinées à douze personnes différentes ?
Sacha Guitry
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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 76 et 849 par deux multiples consécutifs de 13.
Quel est le plus grand multiple de 14 inférieur à 152 ?
Quel est le plus petit multiple de 18 supérieur à 146 ?
6561 10400
456 508
On souhaite réaliser des sachets de bonbons. Pour cela, on dispose de 264 bonbons à la fraise et de 288 bonbons au caramel.
Deux phares sont visibles depuis la plage. Le phare A émet un éclat toutes
les 21 secondes, le phare B toutes les 15 secondes.
À minuit pile, les deux phares émettent un éclat en même temps.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 76 et 849 par deux multiples consécutifs de 13.
On effectue la division euclidienne de 76 par 13 :
On effectue la division euclidienne de 849 par 13 :
Quel est le plus grand multiple de 14 inférieur à 152 ?
On effectue la division euclidienne de 152 par 14 :
Quel est le plus petit multiple de 18 supérieur à 146 ?
On effectue la division euclidienne de 146 par 18 :
| 6561 | 3 | 6561 = 38 |
| 2187 | 3 | |
| 729 | 3 | |
| 243 | 3 | |
| 81 | 3 | |
| 27 | 3 | |
| 9 | 3 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
| 10400 | 2 | 10400 = 25 × 52 × 13 |
| 5200 | 2 | |
| 2600 | 2 | |
| 1300 | 2 | |
| 650 | 2 | |
| 325 | 5 | |
| 65 | 5 | |
| 13 | 13 | |
| 1 |
6561 10400
est irréductible.456 : { 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 19; 24; 38; 57; 76; 114; 152; 228; 456 }
508 : { 1; 2; 4; 127; 254; 508 }
{ 1; 2; 4 }
PGCD(456;508) = 4
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où456 508
=456:4 508:4
=114 127
Critère de divisibilité par 3 :
Un nombre entier est divisible par 3 si (et seulement si) la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.
.
On souhaite réaliser des sachets de bonbons. Pour cela, on dispose de 264 bonbons à la fraise et de 288 bonbons au caramel.
264 = 8 × 33 et 288 = 8 × 36 : 264 et 288 sont tous les deux divisibles par 8.
On peut constituer 8 sachets (33 bonbons à la fraise et 36 bonbons au caramel dans chaque sachet).
264 = 44 × 6, mais 288 = 44 × 6 + 24 : le reste n'est pas nul, 288 n'est pas divisible par 44.
On ne peut pas constituer 44 sachets (tous les bonbons au caramel ne seraient pas utilisés).
| 264 | 2 | 264 = 23 × 3 × 11 |
| 132 | 2 | |
| 66 | 2 | |
| 33 | 3 | |
| 11 | 11 | |
| 1 |
| 288 | 2 | 288 = 25 × 32 |
| 144 | 2 | |
| 72 | 2 | |
| 36 | 2 | |
| 18 | 2 | |
| 9 | 3 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
{ 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24 }
Pour utiliser tout le stock, le nombre de sachets doit diviser à la fois 264 et 288 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de sachets est donc le PGCD de 264 et 288.
Le plus grand des diviseurs communs est 24.
On pourra constituer au maximum 24 sachets.
264 ÷ 24 = 11 et 288 ÷ 24 = 12.
Chaque sachet contiendra 11 bonbons à la fraise et 12 bonbons au caramel.
Deux phares sont visibles depuis la plage. Le phare A émet un éclat toutes
les 21 secondes, le phare B toutes les 15 secondes.
À minuit pile, les deux phares émettent un éclat en même temps.
42 = 2 × 21 : c'est un multiple de 21, le phare A émet donc un éclat (son 2e depuis minuit).
42 = 15 × 2 + 12 : le reste n'est pas nul, 42 n'est pas un multiple de 15.
Le phare B n'émet pas d'éclat à cet instant.
| 21 | 3 | 21 = 3 × 7 |
| 7 | 7 | |
| 1 |
| 15 | 3 | 15 = 3 × 5 |
| 5 | 5 | |
| 1 |
Le phare A émet un éclat aux multiples de 21 s, le phare B aux multiples de 15 s. Ils émettent ensemble aux multiples communs de 21 et 15 : la première fois, au bout du PPCM.
21 = 3 × 7 et 15 = 3 × 5
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(21;15) = 3 × 5 × 7 = 105.
Les deux phares émettront de nouveau un éclat en même temps au bout de 105 s, soit 1 min 45 s.
105 ÷ 21 = 5 et 105 ÷ 15 = 7.
Le phare A aura émis 5 éclats et le phare B 7 éclats.
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