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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 111 et 737 par deux multiples consécutifs de 14.
Quel est le plus grand multiple de 21 inférieur à 313 ?
Quel est le plus petit multiple de 22 supérieur à 449 ?
11550 8424
897 686
La présidente d'un club de sport a acheté 99 autocollants et 81 drapeaux au logo du club. Elle veut offrir des sachets cadeaux.
Sur la piste du stade, Inès court un tour en 336 s et Yanis en 240 s, à allure régulière.
Ils partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 111 et 737 par deux multiples consécutifs de 14.
On effectue la division euclidienne de 111 par 14 :
On effectue la division euclidienne de 737 par 14 :
Quel est le plus grand multiple de 21 inférieur à 313 ?
On effectue la division euclidienne de 313 par 21 :
Quel est le plus petit multiple de 22 supérieur à 449 ?
On effectue la division euclidienne de 449 par 22 :
| 11550 | 2 | 11550 = 2 × 3 × 52 × 7 × 11 |
| 5775 | 3 | |
| 1925 | 5 | |
| 385 | 5 | |
| 77 | 7 | |
| 11 | 11 | |
| 1 |
| 8424 | 2 | 8424 = 23 × 34 × 13 |
| 4212 | 2 | |
| 2106 | 2 | |
| 1053 | 3 | |
| 351 | 3 | |
| 117 | 3 | |
| 39 | 3 | |
| 13 | 13 | |
| 1 |
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où11550 8424
=11550:6 8424:6
=1925 1404
897 : { 1; 3; 13; 23; 39; 69; 299; 897 }
686 : { 1; 2; 7; 14; 49; 98; 343; 686 }
{ 1 }
PGCD(897;686) = 1
Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 897 et 686 sont premiers entre eux.
Donc la fraction897 686
est irréductible.La présidente d'un club de sport a acheté 99 autocollants et 81 drapeaux au logo du club. Elle veut offrir des sachets cadeaux.
99 = 3 × 33 et 81 = 3 × 27 : 99 et 81 sont tous les deux divisibles par 3.
On peut constituer 3 sachets (33 autocollants et 27 drapeaux dans chaque sachet).
81 = 27 × 3, mais 99 = 27 × 3 + 18 : le reste n'est pas nul, 99 n'est pas divisible par 27.
On ne peut pas constituer 27 sachets (tous les autocollants ne seraient pas utilisés).
| 99 | 3 | 99 = 32 × 11 |
| 33 | 3 | |
| 11 | 11 | |
| 1 |
| 81 | 3 | 81 = 34 |
| 27 | 3 | |
| 9 | 3 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
{ 1; 3; 9 }
Pour utiliser tout le stock, le nombre de sachets doit diviser à la fois 99 et 81 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de sachets est donc le PGCD de 99 et 81.
Le plus grand des diviseurs communs est 9.
On pourra constituer au maximum 9 sachets.
99 ÷ 9 = 11 et 81 ÷ 9 = 9.
Chaque sachet contiendra 11 autocollants et 9 drapeaux.
Sur la piste du stade, Inès court un tour en 336 s et Yanis en 240 s, à allure régulière.
Ils partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours.
1344 = 4 × 336 : Inès a fait exactement 4 tours et se trouve donc de nouveau sur la ligne de départ.
1344 = 240 × 5 + 144 : le reste n'est pas nul, 1344 n'est pas un multiple de 240.
Ce n'est pas le cas de Yanis, qui a fait 5 tours et 144 s.
| 336 | 2 | 336 = 24 × 3 × 7 |
| 168 | 2 | |
| 84 | 2 | |
| 42 | 2 | |
| 21 | 3 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
| 240 | 2 | 240 = 24 × 3 × 5 |
| 120 | 2 | |
| 60 | 2 | |
| 30 | 2 | |
| 15 | 3 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
Inès passe sur la ligne de départ toutes les 336 s (aux multiples de 336), et Yanis toutes les 240 s (aux multiples de 240). Ils s'y retrouvent ensemble aux multiples communs de 336 et 240 : la première fois, au bout du PPCM de 336 et 240.
336 = 24 × 3 × 7 et 240 = 24 × 3 × 5
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(336;240) = 24 × 3 × 5 × 7 = 1680.
Ils se retrouveront ensemble sur la ligne de départ au bout de 1680 s, soit 28 min.
1680 ÷ 336 = 5 et 1680 ÷ 240 = 7.
Inès aura fait 5 tours et Yanis 7 tours.
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