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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 157 et 433 par deux multiples consécutifs de 18.
Quel est le plus grand multiple de 10 inférieur à 81 ?
Quel est le plus petit multiple de 20 supérieur à 370 ?
2200 7533
270 975
Un pâtissier a fabriqué 160 chocolats et 192 biscuits. Avec sa production du jour, il veut remplir des boîtes.
Un engrenage est composé d'une roue A de 14 dents et d'une roue B de 21 dents. Un repère rouge est placé sur chaque roue, au point de contact : c'est la position initiale.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 157 et 433 par deux multiples consécutifs de 18.
On effectue la division euclidienne de 157 par 18 :
On effectue la division euclidienne de 433 par 18 :
Quel est le plus grand multiple de 10 inférieur à 81 ?
On effectue la division euclidienne de 81 par 10 :
Quel est le plus petit multiple de 20 supérieur à 370 ?
On effectue la division euclidienne de 370 par 20 :
| 2200 | 2 | 2200 = 23 × 52 × 11 |
| 1100 | 2 | |
| 550 | 2 | |
| 275 | 5 | |
| 55 | 5 | |
| 11 | 11 | |
| 1 |
| 7533 | 3 | 7533 = 35 × 31 |
| 2511 | 3 | |
| 837 | 3 | |
| 279 | 3 | |
| 93 | 3 | |
| 31 | 31 | |
| 1 |
2200 7533
est irréductible.270 : { 1; 2; 3; 5; 6; 9; 10; 15; 18; 27; 30; 45; 54; 90; 135; 270 }
975 : { 1; 3; 5; 13; 15; 25; 39; 65; 75; 195; 325; 975 }
{ 1; 3; 5; 15 }
PGCD(270;975) = 15
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où270 975
=270:15 975:15
=18 65
Critère de divisibilité par 3 :
Un nombre entier est divisible par 3 si (et seulement si) la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.
.
Un pâtissier a fabriqué 160 chocolats et 192 biscuits. Avec sa production du jour, il veut remplir des boîtes.
192 = 3 × 64, mais 160 = 3 × 53 + 1 : le reste n'est pas nul, 160 n'est pas divisible par 3.
On ne peut pas constituer 3 boîtes (tous les chocolats ne seraient pas utilisés).
| 192 | 2 | 192 = 26 × 3 |
| 96 | 2 | |
| 48 | 2 | |
| 24 | 2 | |
| 12 | 2 | |
| 6 | 2 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
Pour utiliser tout le stock, le nombre de boîtes doit diviser à la fois 160 et 192 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de boîtes est donc le PGCD de 160 et 192.
160 = 25 × 5 et 192 = 26 × 3
On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
PGCD(160;192) = 25 = 32.
On pourra constituer au maximum 32 boîtes.
160 ÷ 32 = 5 et 192 ÷ 32 = 6.
Chaque boîte contiendra 5 chocolats et 6 biscuits.
Un engrenage est composé d'une roue A de 14 dents et d'une roue B de 21 dents. Un repère rouge est placé sur chaque roue, au point de contact : c'est la position initiale.
Il est passé 2 × 14 = 28 dents au point de contact : la roue A est revenue à sa position.
Pour la roue B : 28 = 21 × 1 + 7 : le reste n'est pas nul, 28 n'est pas un multiple de 21.
La roue B n'a pas fait un nombre entier de tours :
l'engrenage n'est pas revenu dans sa position initiale.
| 14 | 2 | 14 = 2 × 7 |
| 7 | 7 | |
| 1 |
| 21 | 3 | 21 = 3 × 7 |
| 7 | 7 | |
| 1 |
Chaque roue revient à sa position quand le nombre de dents passées au point de contact est un multiple de son nombre de dents. L'engrenage revient donc dans sa position initiale quand ce nombre est un multiple commun de 14 et 21 : la première fois, au PPCM.
14 = 2 × 7 et 21 = 3 × 7
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(14;21) = 2 × 3 × 7 = 42.
Il passe 42 dents au point de contact, soit 42 ÷ 14 = 3 tours de la roue A.
L'engrenage retrouve sa position initiale au bout de 3 tours de la roue A.
42 ÷ 21 = 2.
La roue B aura effectué 2 tours.
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