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L'ennemi est con, il croit que c'est nous l'ennemi alors que c'est lui.
Pierre Desproges
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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 857 et 817 par deux multiples consécutifs de 13.
Quel est le plus grand multiple de 22 inférieur à 227 ?
Quel est le plus petit multiple de 14 supérieur à 141 ?
15872 3087
376 594
On souhaite réaliser des sachets de bonbons. Pour cela, on dispose de 126 bonbons à la fraise et de 154 bonbons au caramel.
Un engrenage est composé d'une roue A de 20 dents et d'une roue B de 12 dents. Un repère rouge est placé sur chaque roue, au point de contact : c'est la position initiale.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 857 et 817 par deux multiples consécutifs de 13.
On effectue la division euclidienne de 857 par 13 :
On effectue la division euclidienne de 817 par 13 :
Quel est le plus grand multiple de 22 inférieur à 227 ?
On effectue la division euclidienne de 227 par 22 :
Quel est le plus petit multiple de 14 supérieur à 141 ?
On effectue la division euclidienne de 141 par 14 :
| 15872 | 2 | 15872 = 29 × 31 |
| 7936 | 2 | |
| 3968 | 2 | |
| 1984 | 2 | |
| 992 | 2 | |
| 496 | 2 | |
| 248 | 2 | |
| 124 | 2 | |
| 62 | 2 | |
| 31 | 31 | |
| 1 |
| 3087 | 3 | 3087 = 32 × 73 |
| 1029 | 3 | |
| 343 | 7 | |
| 49 | 7 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
15872 3087
est irréductible.376 : { 1; 2; 4; 8; 47; 94; 188; 376 }
594 : { 1; 2; 3; 6; 9; 11; 18; 22; 27; 33; 54; 66; 99; 198; 297; 594 }
{ 1; 2 }
PGCD(376;594) = 2
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où376 594
=376:2 594:2
=188 297
On souhaite réaliser des sachets de bonbons. Pour cela, on dispose de 126 bonbons à la fraise et de 154 bonbons au caramel.
126 = 7 × 18 et 154 = 7 × 22 : 126 et 154 sont tous les deux divisibles par 7.
On peut constituer 7 sachets (18 bonbons à la fraise et 22 bonbons au caramel dans chaque sachet).
126 = 6 × 21, mais 154 = 6 × 25 + 4 : le reste n'est pas nul, 154 n'est pas divisible par 6.
On ne peut pas constituer 6 sachets (tous les bonbons au caramel ne seraient pas utilisés).
| 126 | 2 | 126 = 2 × 32 × 7 |
| 63 | 3 | |
| 21 | 3 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
| 154 | 2 | 154 = 2 × 7 × 11 |
| 77 | 7 | |
| 11 | 11 | |
| 1 |
{ 1; 2; 7; 14 }
Pour utiliser tout le stock, le nombre de sachets doit diviser à la fois 126 et 154 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de sachets est donc le PGCD de 126 et 154.
Le plus grand des diviseurs communs est 14.
On pourra constituer au maximum 14 sachets.
126 ÷ 14 = 9 et 154 ÷ 14 = 11.
Chaque sachet contiendra 9 bonbons à la fraise et 11 bonbons au caramel.
Un engrenage est composé d'une roue A de 20 dents et d'une roue B de 12 dents. Un repère rouge est placé sur chaque roue, au point de contact : c'est la position initiale.
Il est passé 2 × 20 = 40 dents au point de contact : la roue A est revenue à sa position.
Pour la roue B : 40 = 12 × 3 + 4 : le reste n'est pas nul, 40 n'est pas un multiple de 12.
La roue B n'a pas fait un nombre entier de tours :
l'engrenage n'est pas revenu dans sa position initiale.
| 20 | 2 | 20 = 22 × 5 |
| 10 | 2 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
| 12 | 2 | 12 = 22 × 3 |
| 6 | 2 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
Chaque roue revient à sa position quand le nombre de dents passées au point de contact est un multiple de son nombre de dents. L'engrenage revient donc dans sa position initiale quand ce nombre est un multiple commun de 20 et 12 : la première fois, au PPCM.
20 = 22 × 5 et 12 = 22 × 3
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(20;12) = 22 × 3 × 5 = 60.
Il passe 60 dents au point de contact, soit 60 ÷ 20 = 3 tours de la roue A.
L'engrenage retrouve sa position initiale au bout de 3 tours de la roue A.
60 ÷ 12 = 5.
La roue B aura effectué 5 tours.
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