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La théorie, c'est quand on sait tout et que rien ne fonctionne. La pratique, c'est quand tout fonctionne et que personne ne sait pourquoi. Ici, nous avons réuni théorie et pratique : Rien ne fonctionne... et personne ne sait pourquoi !
Albert Einstein
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📚 Voir les ressources pédagogiques« Les 8 exercices suivants peuvent être réalisés facilement avec une calculatrice. Mais maîtrisez-vous les automatismes nécessaires pour vous en passer ? »
Encadre 138 et 607 par deux multiples consécutifs de 19.
Quel est le plus grand multiple de 10 inférieur à 197 ?
Quel est le plus petit multiple de 4 supérieur à 38 ?
1530 8262
4347 10880
On souhaite réaliser des sachets de bonbons. Pour cela, on dispose de 308 bonbons à la fraise et de 84 bonbons au caramel.
Sur un circuit de karting, un pilote professionnel fait un tour en 108 s et un pilote amateur en 60 s. Ils roulent à vitesse constante.
Ils partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours.
Ces exercices sont entièrement corrigés pour faciliter l'accompagnement scolaire à la maison. Votre enfant peut s'auto-évaluer grâce aux corrections détaillées, ce qui favorise son autonomie dans les apprentissages. Nos activités suivent rigoureusement les programmes officiels et permettent un entraînement progressif et structuré. Ressources PDF téléchargeables disponibles pour une utilisation hors ligne.
Encadre 138 et 607 par deux multiples consécutifs de 19.
On effectue la division euclidienne de 138 par 19 :
On effectue la division euclidienne de 607 par 19 :
Quel est le plus grand multiple de 10 inférieur à 197 ?
On effectue la division euclidienne de 197 par 10 :
Quel est le plus petit multiple de 4 supérieur à 38 ?
On effectue la division euclidienne de 38 par 4 :
| 1530 | 2 | 1530 = 2 × 32 × 5 × 17 |
| 765 | 3 | |
| 255 | 3 | |
| 85 | 5 | |
| 17 | 17 | |
| 1 |
| 8262 | 2 | 8262 = 2 × 35 × 17 |
| 4131 | 3 | |
| 1377 | 3 | |
| 459 | 3 | |
| 153 | 3 | |
| 51 | 3 | |
| 17 | 17 | |
| 1 |
Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun à son numérateur et son dénominateur, la fraction obtenue est irréductible.
d'où1530 8262
=1530:306 8262:306
=5 27
4347 : { 1; 3; 7; 9; 21; 23; 27; 63; 69; 161; 189; 207; 483; 621; 1449; 4347 }
10880 : { 1; 2; 4; 5; 8; 10; 16; 17; 20; 32; 34; 40; 64; 68; 80; 85; 128; 136; 160; 170; 272; 320; 340; 544; 640; 680; 1088; 1360; 2176; 2720; 5440; 10880 }
{ 1 }
PGCD(4347;10880) = 1
Leurs PGCD étant égal à 1, les nombres 4347 et 10880 sont premiers entre eux.
Donc la fraction4347 10880
est irréductible.Critère de divisibilité par 3 :
Un nombre entier est divisible par 3 si (et seulement si) la somme de ses chiffres est elle-même divisible par 3.
.
On souhaite réaliser des sachets de bonbons. Pour cela, on dispose de 308 bonbons à la fraise et de 84 bonbons au caramel.
308 = 7 × 44 et 84 = 7 × 12 : 308 et 84 sont tous les deux divisibles par 7.
On peut constituer 7 sachets (44 bonbons à la fraise et 12 bonbons au caramel dans chaque sachet).
84 = 42 × 2, mais 308 = 42 × 7 + 14 : le reste n'est pas nul, 308 n'est pas divisible par 42.
On ne peut pas constituer 42 sachets (tous les bonbons à la fraise ne seraient pas utilisés).
| 308 | 2 | 308 = 22 × 7 × 11 |
| 154 | 2 | |
| 77 | 7 | |
| 11 | 11 | |
| 1 |
| 84 | 2 | 84 = 22 × 3 × 7 |
| 42 | 2 | |
| 21 | 3 | |
| 7 | 7 | |
| 1 |
Pour utiliser tout le stock, le nombre de sachets doit diviser à la fois 308 et 84 : c'est un diviseur commun. Le nombre maximal de sachets est donc le PGCD de 308 et 84.
308 = 22 × 7 × 11 et 84 = 22 × 3 × 7
On garde les facteurs communs aux deux décompositions :
PGCD(308;84) = 22 × 7 = 28.
On pourra constituer au maximum 28 sachets.
308 ÷ 28 = 11 et 84 ÷ 28 = 3.
Chaque sachet contiendra 11 bonbons à la fraise et 3 bonbons au caramel.
Sur un circuit de karting, un pilote professionnel fait un tour en 108 s et un pilote amateur en 60 s. Ils roulent à vitesse constante.
Ils partent en même temps de la ligne de départ et font plusieurs tours.
432 = 4 × 108 : le professionnel a fait exactement 4 tours et se trouve donc de nouveau sur la ligne de départ.
432 = 60 × 7 + 12 : le reste n'est pas nul, 432 n'est pas un multiple de 60.
Ce n'est pas le cas de l'amateur, qui a fait 7 tours et 12 s.
| 108 | 2 | 108 = 22 × 33 |
| 54 | 2 | |
| 27 | 3 | |
| 9 | 3 | |
| 3 | 3 | |
| 1 |
| 60 | 2 | 60 = 22 × 3 × 5 |
| 30 | 2 | |
| 15 | 3 | |
| 5 | 5 | |
| 1 |
Le professionnel passe sur la ligne de départ toutes les 108 s (aux multiples de 108), et l'amateur toutes les 60 s (aux multiples de 60). Ils s'y retrouvent ensemble aux multiples communs de 108 et 60 : la première fois, au bout du PPCM de 108 et 60.
108 = 22 × 33 et 60 = 22 × 3 × 5
On prend chaque facteur premier avec son plus grand exposant :
PPCM(108;60) = 22 × 33 × 5 = 540.
Ils se retrouveront ensemble sur la ligne de départ au bout de 540 s, soit 9 min.
540 ÷ 108 = 5 et 540 ÷ 60 = 9.
Le professionnel aura fait 5 tours et l'amateur 9 tours.
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